Question

在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其中c=2，且．
（1）求證：△ABC是直角三角形；
（2）如圖，設(shè)圓O過(guò)A，B，C三點(diǎn)，點(diǎn)P位于劣弧上，求△PAC面積最大值．

Answer 1

（1）證明：由正弦定理得，…（2分）
整理為sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，…（3分）
又因?yàn)?＜2A、2B＜2π，
∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或．…（6分）
∵，∴A=B舍去，故，
由可知，∴△ABC是直角三角形．…（6分）
（2）解：由（1）及c=2，及勾股定理得a=1，，…（7分）
設(shè)，則，…（8分）
在Rt△PAB中，PA=AB•cosθ=2cosθ
所以=…（10分）
==
===…（12分）
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/17478.png' />
所以，
當(dāng)，即時(shí)，S_△PAC最大值等于．…（14分）
分析：（1）由正弦定理求得sin2A=sin2B，故2A=2B或2A+2B=π，再由，可得只能，，從而得到
△ABC是直角三角形．
（2）由（1）及c=2，及勾股定理得a=1，，設(shè)，則 PA=AB•cosθ=2cosθ，化簡(jiǎn)△PAC面積為，再由θ的范圍可得時(shí)，S_△PAC 取得最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，正弦定理、正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．