Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)短軸長(zhǎng)為2，P（x₀，y₀）（x₀≠±a）是橢圓上一點(diǎn)，A，B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線PA，PB的斜率之積為-

1

4

．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)∠F₁PF₂為鈍角時(shí)，求P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍；
（3）設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，M、N是橢圓右準(zhǔn)線l上的兩個(gè)點(diǎn)，若

F1M

•

F2N

=0，求MN的最小值．

Answer 1

分析：（1）由橢圓的短軸長(zhǎng)為2，可得b=1，再由直線PA，PB的斜率之積為-

1

4

，結(jié)合P在橢圓上的特點(diǎn)，列方程可解得a值，從而確定橢圓方程
（2）由余弦定理知∠F₁PF₂為鈍角的充要條件為PF12+PF22＜F1F22，利用焦半徑公式代入列不等式即可解得P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍
（3）由于M、N在右準(zhǔn)線上，故MN的長(zhǎng)度即為兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值，利用

F1M

•

F2N

=0，得縱坐標(biāo)積的值，再利用均值定理即可得縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值的最小值，進(jìn)而得MN的最小值

解答：解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)短軸長(zhǎng)為2，
∴b=1，A（-a，0），B（a，0），y02=1-

x 02

a2

=

a2-x 02

a2

∴直線PA，PB的斜率之積k_PA•k_PB=

y0

x0+a

×

y0

x0-a

=

y0 2

x0 2-a  2

=-

1

a2

=-

1

4

∴a=2
∴橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）橢圓的a=2，離心率e=

3

2

因?yàn)椤螰₁PF₂為鈍角，所以PF12+PF22＜F1F22，
所以(a+ex0)2+(a-ex0)2＜12，
即（2+

3

2

x₀）²+（2-

3

2

x₀）²＜12
解得-

2 6

3

＜x0＜

2 6

3

，
即P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為(-

2 6

3

，

2 6

3

)．
（3）橢圓的右準(zhǔn)線方程為x=

a2

c

=

4 3

3

因?yàn)镸、N是橢圓右準(zhǔn)線l上的兩個(gè)點(diǎn)，故設(shè)M(

4

3

3

，y1)，N(

4

3

3

，y2)，
因?yàn)?span id="xp3j9lv" class="MathJye">

F1M

•

F2N

=0，所以F₁M⊥F₂N．
即

y1

7 3 3

•

y2

3 3

=-1，即y1y2=-

7

3

，所以y₁，y₂異號(hào)．
所以MN=|y1-y2|=|y1|+|y2|≥2

7 3

=

2 21

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)y₁=-y₂，即y1=

21

3

，y2=-

21

3

或y1=-

21

3

，y2=

21

3

取等號(hào)．
所以MN的最小值為

2 21

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法，橢圓的離心率，準(zhǔn)線，焦點(diǎn)三角形等幾何性質(zhì)，向量與解析幾何的綜合，最值問題的解法