精英家教網(wǎng)如圖所示,空間中有兩個(gè)正方形ABCD和ADEF,設(shè)M、N分別是BD和AE的中點(diǎn),那么以下四個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)是
 

①AD⊥MN,②MN∥面CDE,③MN∥CE,④MN、CE是異面直線
分析:如圖連接AC交BD于M,則易證AD垂直于平面CDE,NM∥CE,則根據(jù)線面垂直的定義及線面平行的判定定理,四個(gè)選項(xiàng)容易確定正誤.
解答:精英家教網(wǎng)解:
對于①,由AD⊥DC,AD⊥DE,易證AD垂直于平面CDE,所以AD⊥CE,又MN是三角形ACE的中位線,
故NM∥CE,所以AD⊥MN,正確;因此③正確;
對于②MN是三角形ACE的中位線,故NM∥CE,從而可以得到MN∥面CDE,正確;
對于④,由③正確,故錯(cuò)誤.
答案為 3.
點(diǎn)評:本題考查直線與平面垂直的判定及性質(zhì),直線與平面平行的判定及性質(zhì),同時(shí)結(jié)合圖形解決問題.
練習(xí)冊系列答案
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如圖所示,空間中兩個(gè)有一條公共邊AD的正方形ABCD和ADEF,設(shè)M、N分別是BD和AE的中點(diǎn),那么

①AD⊥MN 、贛N∥平面CDE

③MN∥CE  ④MN、CE異面

以上四個(gè)命題中正確命題的個(gè)數(shù)是

[  ]

A.1
B.2
C.3
D.4

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如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為棱AA1,CC1的中點(diǎn),則在空間中與直線A1D1,EF,CD都相交的直線(  ).

A.有無數(shù)條         B.有且只有兩條      C.有且只有三條      D.不存在

 

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在四棱錐中,平面,底面為矩形,.

(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求證:

(Ⅱ)若邊上有且只有一個(gè)點(diǎn),使得,求此時(shí)二面角的余弦值.

【解析】第一位女利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理得到。當(dāng)a=1時(shí),底面ABCD為正方形,

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912265168707359/SYS201207091227226245550949_ST.files/image014.png">,………………2分

,得證。

第二問,建立空間直角坐標(biāo)系,則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分

設(shè)BQ=m,則Q(1,m,0)(0《m《a》

要使,只要

所以,即………6分

由此可知時(shí),存在點(diǎn)Q使得

當(dāng)且僅當(dāng)m=a-m,即m=a/2時(shí),BC邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q,使得

由此知道a=2,  設(shè)平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為

解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),底面ABCD為正方形,

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912265168707359/SYS201207091227226245550949_ST.files/image014.png">,………………3分

(Ⅱ) 因?yàn)锳B,AD,AP兩兩垂直,分別以它們所在直線為X軸、Y軸、Z軸建立坐標(biāo)系,如圖所示,

則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分

設(shè)BQ=m,則Q(1,m,0)(0《m《a》要使,只要

所以,即………6分

由此可知時(shí),存在點(diǎn)Q使得

當(dāng)且僅當(dāng)m=a-m,即m=a/2時(shí),BC邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q,使得由此知道a=2,

設(shè)平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

如圖所示,空間中有兩個(gè)正方形ABCD和ADEF,設(shè)M、N分別是BD和AE的中點(diǎn),那么以下四個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)是 ________.
①AD⊥MN,②MN∥面CDE,③MN∥CE,④MN、CE是異面直線

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