Question

函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

π

2

），在同一個(gè)周期內(nèi)，當(dāng)x=

π

4

時(shí)y取最大值1，當(dāng)x=

7π

12

時(shí)，y取最小值-1．
（1）求函數(shù)的解析式f（x）；
（2）若函數(shù)f（x）滿足方程f（x）=

1

2

；求在[0，2π]內(nèi)的所有實(shí)數(shù)根之和．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，算出f（x）的周期T=2（

7π

12

-

π

4

），結(jié)合周期公式解得ω=3，再結(jié)合當(dāng)x=

π

4

時(shí)y取最大值1解出φ=-

π

4

，即可得到函數(shù)的解析式；
（2）由（1）的結(jié)論，得函數(shù)在[0，2π]內(nèi)恰有3個(gè)周期，根據(jù)正弦函數(shù)圖象的對稱性，得到在[0，2π]內(nèi)有6個(gè)根且分別關(guān)于直線x=

π

4

、x=

11π

12

和x=

19π

12

對稱，由此加以計(jì)算即可得到所有實(shí)數(shù)根之和．

解答：解：（1）由題意，得
周期T=

2π

ω

=2（

7π

12

-

π

4

），解得ω=3
又∵當(dāng)x=

π

4

時(shí)y取最大值1
∴sin（

3π

4

+φ）=1，結(jié)合|φ|＜

π

2

可得φ=-

π

4

因此函數(shù)的解析式為f（x）=sin（3x-

π

4

）；
（2）∵f（x）=sin（3x-

π

4

）的周期為

2π

3

∴函數(shù)在[0，2π]內(nèi)恰有3個(gè)周期，
并且方程sin(3x-

π

4

)=

1

2

在[0，2π]內(nèi)有6個(gè)實(shí)根，
且x₁+x₂=

π

2

，
同理可得x₃+x₄=

11π

6

且x₅+x₆=

19π

6

∴f（x）在[0，2π]內(nèi)的所有實(shí)數(shù)根之和為：

π

2

+

11π

6

+

19π

6

=

11π

2

．

點(diǎn)評：本題給出三角函數(shù)圖象滿足的條件，求函數(shù)的表達(dá)式并求f（x）在[0，2π]內(nèi)的所有實(shí)數(shù)根之和．著重考查了三角函數(shù)的周期公式、圖象的對稱性和最值點(diǎn)對應(yīng)的自變量等知識，屬于中檔題．