Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=（x²-2ax）lnx+bx²，a，b∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=1，b=0時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)b=2時，若對任意x∈[1，+∞），不等式2f（x）＞3x²+a恒成立．求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a=1，b=0，得出f（x）的解析式，求切線方程，即先求f′（x）在x=1出的值為切線的斜率．由點斜式求出切線方程即可．
（Ⅱ）不等式2f（x）＞3x²+a等價于（2x²-4ax）lnx+x²-a＞0．
方法一：需要分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)最值得關(guān)系即可求出a的范圍，
方法二：先求出a的范圍，再驗證即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1，b=0時，f（x）=（x²-2x）lnx，則f（1）=0，
∴f'（x）=（2x-x）lnx+x-2，
∴f（1）=-1．
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=-（x-1），
即x+y-1=0．
（Ⅱ）當(dāng)b=2時，f（x）=（x²-2ax）lnx+2x²，a∈R．
∴不等式2f（x）＞3x²+a等價于（2x²-4ax）lnx+x²-a＞0．
方法一：令p（x）=（2x²-4ax）lnx+x²-a，x∈[1，+∞），
則p'（x）=（4x-4a）lnx+（2x-4a）+2x=4（x-a）（lnx+1）（x≥1）．
當(dāng)a≤1時，p'（x）≥0，則函數(shù)p（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴p（x）_min=p（1）=1-a，
∴根據(jù)題意，知有1-a＞0，∴a＜1．
當(dāng)a＞1時，由p'（x）＜0，知函數(shù)p（x）在[1，a）上單調(diào)增減；
由p'（x）＞0，知函數(shù)p（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增．
∴$p{（x）_{min}}=p（a）={a^2}（1-2lna）-a$．）
由條件知，a²（1-2lna）-a＞0，即a（1-2lna）-1＞0．
設(shè)q（a）=a（1-2lna）-1，a＞1，則q'（a）=-1-2lna＜0，a＞1，
∴q（a）在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
又q（1）=0，所以q（a）＜q（1）=0與條件矛盾．
綜上可知，實數(shù)a的取值范圍為（-∞，1）．
方法二：令p（x）=（2x²-4ax）lnx+x²-a，x∈[1，+∞），
則p（x）=（2x²-4ax）lnx+x²-a＞0在[1，+∞）上恒成立，
∴p（1）=1-a＞0，
∴a＜1．
又p'（x）=（4x-4a）lnx+（2x-4a）+2x=4（x-a）（lnx+1）（x≥1），
顯然當(dāng)a＜1時，p'（x）＞0，則函數(shù)p（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴p（x）_min=p（1）=1-a＞0，
∴a＜1．
綜上可知a的取值范圍為（-∞，1）．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)和幾何意義以及導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的問題，以及參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題．