Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：對任意，函數(shù)的圖象均在軸上方.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)已知條件將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可求解；

（Ⅱ）將不等式恒成立問題運(yùn)用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，即可得證.

（Ⅰ）根據(jù)題意，得（）.因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，

所以在上恒成立，即恒成立，

故只需（）.

令函數(shù)，則，

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以，所以，解得；

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)（），則.

令函數(shù)，則.因?yàn)?/span>，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.

又因?yàn)?/span>，，

所以存在，使，可得，

所以對任意，，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減；

對任意，，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以.

要證函數(shù)的圖象均在軸上方，只需證，

即當(dāng)時(shí)，恒成立，

即在上恒成立.

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，所以，

則，解得，

所以當(dāng)時(shí)，對任意，函數(shù)的圖象均在軸上方.