Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²-c（其中a，b，c均為常數(shù)，x∈R）．當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）的極植為-3-c．
（1）試確定a，b的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若對(duì)于任意x＞0，不等式f（x）≥-2c²恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出f'（x），因?yàn)楫?dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）的極植為-3-c．得到f（1）=-3-c，f′（1）=0代入得f（x）的解析式即可；（2）令f′（x）=0求出函數(shù)的駐點(diǎn)，利用駐點(diǎn)討論函數(shù)的增減性得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（3）要使不等式f（x）≥-2c²恒成立即-6x³-9x²-c≥-2c²對(duì)任意x＞0恒成立，則函數(shù)的最小值大于等于-2c²得到關(guān)于c的不等式即可求出c的取值范圍．

解答：解：（1）由f（x）=ax³+bx²-c，得f'（x）=3ax²+2bx，
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）的極值為-3-c，
∴

f′(1)=0 f(1)=-3-c

，得

3a+2b=0 a+b-c=-3-c

，∴

a=6 b=-9

，
∴f（x）=6x³-9x²-c．
（2）∵f（x）=6x³-9x²-c，∴f′（x）=18x²-18x=18x（x-1），
令f′（x）=0，得x=0或x=1．
當(dāng)x＜0或x＞1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，0）和（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是[0，1]．
（3）∵f（x）≥-2c²對(duì)任意x＞0恒成立，∴-6x³-9x²-c≥-2c²對(duì)任意x＞0恒成立，
∵當(dāng)x=1時(shí)，f（x）_min=-3-c，∴-3-c≥-2c²，得2c²-c-3≥0，
∴c≤-1或c≥

3

2

．
∴c的取值范圍是(-∞，-1]∪[

3

2

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值及單調(diào)性的能力，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上極值的能力，以及理解掌握不等式恒成立的條件的能力．