Question

已知向量

a

=(sin

x

3

，

3

cos

x

3

)，

b

=(1，1)，函數(shù)f(x)=

a

•

b

cos

x

3

．
（1）將f（x）寫成Asin（ωx+φ）+B的形式，并求其圖象的對(duì)稱中心；
（2）如果△ABC的三邊a、b、c滿足b²=ac，且邊b所對(duì)的角為x，試求x的取值范圍及此時(shí)函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則建立f（x）的關(guān)系式，利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后，再利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，令這個(gè)角等于kπ，求出x的值，得到對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式得到對(duì)稱中心的縱坐標(biāo)，確定出對(duì)稱中心；
（2）利用余弦定理表示出cosx，把已知的b²=ac代入，化簡(jiǎn)后根據(jù)基本不等式可得cosx的范圍，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得x的范圍，根據(jù)x的范圍求出這個(gè)角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的值域可得函數(shù)的值域及此時(shí)x的范圍．

解答：解：（1）f（x）=sin

x

3

cos

x

3

+

3

cos²

x

3

=

1

2

sin

2x

3

+

3

2

（1+cos

2x

3

）
=

1

2

sin

2x

3

+

3

2

cos

2x

3

+

3

2

=sin（

2x

3

+

π

3

）+

3

2

，
令sin（

2x

3

+

π

3

）=0，即

2x

3

+

π

3

=kπ（k∈Z），解得x=

3k-1

2

π（k∈Z），
則對(duì)稱中心為（

3k-1

2

π，

3

2

）（k∈Z）；
（2）∵b²=ac，
∴根據(jù)余弦定理得：cosx=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
∴

1

2

≤cosx＜1，即0＜x≤

π

3

，
∴

π

3

＜

2x

3

+

π

3

≤

5π

9

，
∵|

π

3

-

π

2

|＞|

5π

9

-

π

2

|，
∴sin

π

3

＜sin（

2x

3

+

π

3

）≤1，
∴

3

＜sin（

2x

3

+

π

3

）+

3

2

≤1+

3

2

，
則x∈（0，

π

3

]時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?span id="owrstz7" class="MathJye">

3

，1+

3

2

]．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，基本不等式及正弦函數(shù)的定義域及值域，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．