Question

已知：2^x≤256且log₂x≥

1

2

．
（1）求x的取值范圍；
（2）將函數(shù)f（x）=log₂（

x

2

）•log 

2

（

x

2

）的解析式整理為關(guān)于log₂x的式子；
（3）在前兩問的情形下求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知可得

2x≤256=28 log2x≥log2 2

，由此求得x的范圍．
（2）利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，把函數(shù)f（x）的解析式整理為關(guān)于log₂x的式子．
（3）根據(jù)f（x）=（log₂x-1）（log₂x-2）、x的范圍為[

2

，8]，可得 log₂x∈[

1

2

，3]，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

解答：解：（1）由已知可得

2x≤256=28 log2x≥log2 2

，解得

2

≤x≤8，故x的范圍為[

2

，8]．
（2）函數(shù)f（x）=log₂（

x

2

）•log 

2

（

x

2

）=（log₂x-1）（log

2

x

-2）=（log₂x-1）（log₂x-2）．
（3）∵x的范圍為[

2

，8]，
∴l(xiāng)og₂x∈[

1

2

，3]，
再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)log₂x=

3

2

時，函數(shù)f（x）取得最小值為-

1

4

；
當(dāng)log₂x=3時，函數(shù)f（x）取得最大值為2．

點(diǎn)評：本題主要考查指數(shù)不等式、對數(shù)不等式的解法，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．