如圖,已知正四面體ABCD的棱長為3cm.
(1)求證:AD⊥BC;
(2)已知點E是CD的中點,點P在△ABC的內(nèi)部及邊界上運動,且滿足EP∥平面ABD,試求點P的軌跡;
(3)有一個小蟲從點A開始按以下規(guī)則前進:在每一個頂點處等可能地選擇通過這個頂點的三條棱之一,并且沿著這條棱爬到盡頭,當(dāng)它爬了12cm之后,求恰好回到A點的概率.
分析:(1)取BC中點M,連AM、DM,由△ABC及△BCD均為正三角形,可得BC⊥AM,BC⊥DM;進而可得BC⊥平面ADM,由線面垂直的性質(zhì)可得證明;
(2)取BC中點M,連接EM,并取AC的中點Q,連QE,QM,根據(jù)線面平行的判定定理可得:EQ∥平面ABD,MQ∥平面ABD,再結(jié)合面面平行的判定定理得到:平面QEM∥平面ABD,進而得到點P的軌跡為線段QM.
(2)由題意可得:小蟲共走過了4條棱,并且得到基本事件總數(shù)為81,再分別討論當(dāng)小蟲走第1條棱時,第2條棱,第3條棱的所有走法,即可得到小蟲走12cm后仍回到A點的所有走法為21種,進而根據(jù)等可能事件的概率公式求出答案.
解答:解:(1)證明:取BC中點M,連AM、DM,
因△ABC及△BCD均為正三角形,故BC⊥AM,BC⊥DM.
因AM,DM為平面ADM內(nèi)的兩條相交直線,
故BC⊥平面ADM,于是BC⊥AD.
(2)連接EM,并取AC的中點Q,連QE,QM.于是EQ∥AD,故EQ∥平面ABD.
同理MQ∥平面ABD.
因EQ,MQ為平面QEM內(nèi)的兩條相交直線,
故平面QEM∥平面ABD,從而點P的軌跡為線段QM.       
(3)依題設(shè)小蟲共走過了4條棱,每次走某條棱均有3種選擇,
故所有等可能基本事件總數(shù)為34=81.                                
走第1條棱時,有3種選擇,不妨設(shè)走了AB,然后走第2條棱為:或BA或BC或BD.
若第2條棱走的為BA,則第3條棱可以選擇走AB,AC,AD,計3種可能;
若第2條棱走的為BC,則第3條棱可以選擇走CB,CD,計2種可能;
同理第2條棱走BD時,第3棱的走法亦有2種選擇.                     
故小蟲走12cm后仍回到A點的選擇有3×(3+2+2)=21種可能.
于是,所求的概率為
21
81
=
7
27
點評:本題考查等可能事件的概率、線線垂直、線面平行的性質(zhì)與判定,是一道綜合題;解題時要注意結(jié)合三棱錐的幾何結(jié)構(gòu)特征,進行概率計算.
練習(xí)冊系列答案
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