Question

某港口的水深y（米）是時(shí)間t(0≤t≤24,單位：小時(shí)）的函數(shù)，下面是水深數(shù)據(jù)：

t(時(shí))	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y(米)	10.0	13.0	9.9	7.0	10.0	13.0	10.1	7.0	10.0

根據(jù)上述數(shù)據(jù)描出的曲線如下圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦函數(shù)y=Asinωt+b的圖象.

(1)試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出y=Asinωt+b的表達(dá)式；

（2）一般情況下，船舶航行時(shí)，船底離海底的距離不少于4.5米時(shí)是安全的，如果某船的吃水深度（船底與水面的距離）為7米，那么該船在什么時(shí)間段能夠安全進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天安全離港，則在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過多長時(shí)間（忽略進(jìn)出港所用的時(shí)間）？

Answer 1

思路分析：（1）從擬合曲線可知，函數(shù)y=Asinωt+b中的b，由t=0時(shí)的函數(shù)值取的，t=3時(shí)取得最大值，進(jìn)而可求得ω、A、b的值，即得函數(shù)的表達(dá)式.

(2)根據(jù)（1）中求得的函數(shù)表達(dá)式，求出數(shù)值不小于4.5+7=11.5（米）的時(shí)段，從而就可回答題中的兩問.

解:（1）從擬合曲線可知：函數(shù)y=Asinωt+b在一個(gè)周期內(nèi)由最大變到最小需9-3=6小時(shí)，此為半個(gè)周期，所以函數(shù)的最小正周期為12小時(shí)，因此=12,ω=.

又∵當(dāng)t=0時(shí)，y=10;當(dāng)t=3時(shí)，y_max=13.

∴b=10,A=13-10=3.

于是所求的函數(shù)表達(dá)式為y=3sinx+10.

(2)由于船的吃水深度為7米，船底與海底的距離不少于4.5米，故在船舶航行時(shí)水深y應(yīng)大于等于7+4.5=11.5（米）.

由擬合曲線可知，一天24小時(shí)，水深y變化兩個(gè)周期，故要使船舶在一天內(nèi)停留港口的時(shí)間最長，則應(yīng)從凌晨3點(diǎn)前進(jìn)港，而從第二個(gè)周期中的下午15點(diǎn)后離港.

令y=3sinx+10≥11.5，可得sinx≥.

∴2kπ+≤x≤2kπ+ (k∈Z).

∴12k+1≤x≤12k+5(k∈Z).

取k=0，則1≤x≤5；取k=1，則13≤x≤17.

而取k=2時(shí)，則25≤x≤29（不合題意）.

從而可知船舶要在一天之內(nèi)在港口停留時(shí)間最長，就應(yīng)從凌晨1點(diǎn)（1點(diǎn)到5點(diǎn)都可以）進(jìn)港，而下午的17點(diǎn)（即13點(diǎn)到17點(diǎn)之間）前離港，在港內(nèi)停留的時(shí)間最長為16小時(shí).