已知定義在R上的函數(shù)f(x)對(duì)任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＜0恒成立．求證：

(1)函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù)；

(2)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．

答案：
解析：

　　證明：(1)任取x1＞x2，則x1－x2＞0，得f(x1－x2)＜0．

　　又f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，

　　所以f(x1)＝f(x1－x2＋x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)＜f(x2)，

　　故函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù)．

　　(2)由f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，

　　即f(x)＋f(－x)＝f(0)．

　　又f(0)＝2f(0)，

　　得f(0)＝0，

　　所以f(－x)＝－f(x)．

　　故函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足下列條件：
①對(duì)任意的x∈R都有f（x+2）=f（x）；
②若0≤x1＜x2≤1，都有f（x1）＞f（x2）；
③y=f（x+1）是偶函數(shù)，
則下列不等式中正確的是（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x）=
f(x-1)-f(x-2)，x＞0
log2(1-x)，       x≤0
  則：
①f（3）的值為
0
0
，
②f（2011）的值為
-1
-1
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），且x∈（-1，1]時(shí)f(x)=
1，(-1＜x≤0)
-1，(0＜x≤1)
，則f（3）=（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，對(duì)x∈R都有f（2+x）=f（2-x），當(dāng)f（-3）=-2時(shí)，f（2013）的值為（　�。�
A、-2B、2C、4D、-4

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x），對(duì)任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，若函數(shù)y=f（x+1）的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱，則f（2013）=（　�。�
A、0B、2013C、3D、-2013

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案