Question

在對數(shù)函數(shù)y=logx的圖象上（如圖），有A、B、C三點，它們的橫坐標依次為t、t+2、t+4，其中t≥1，
（1）設(shè)△ABC的面積為S，求S=f（t）；
（2）判斷函數(shù)S=f（t）的單調(diào)性；
（3）求S=f（t）的最大值．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)已知條件，A、B、C三點坐標分別為（t，logt），（t+2，log（t+2）），（t+4，log（t+4）），
對于（1）由圖形得S_ABC=S_梯形ABFE+S_梯形BCNF-S_梯形ACNE，根據(jù)面積公式代入相關(guān)數(shù)據(jù)即可得到三角形面積的表達式
（2）根據(jù)（1）中所求的表達式研究函數(shù)的單調(diào)性并進行證明即可
（3）由（2）所求的單調(diào)性求出三角形面積的最大值．
解答：解：（1）A、B、C三點坐標分別為（t，logt），（t+2，log（t+2）），（t+4，log（t+4）），由圖形，當(dāng)妨令三點A，B，C在x軸上的垂足為E，F(xiàn)，N，則△ABC的面積為
S_ABC=S_梯形ABFE+S_梯形BCNF-S_梯形ACNE
=-[logt+log（t+2）]+[log（t+2）+log（t+4））]+2[logt-log（t+4））]
=logt+log（t+4）-2log（t+2）]==
即△ABC的面積為S=f（t）=  （t≥1）

（2）f（t）=  （t≥1）是復(fù)合函數(shù)，其外層是一個遞增的函數(shù)，t≥1時，內(nèi)層是一個遞減的函數(shù)，故復(fù)合函數(shù)是一個減函數(shù)，
（3）由（2）的結(jié)論知，函數(shù)在t=1時取到最大值，故三角形面積的最大值是
S=f（1）==
點評：本題考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合運算，解題時要結(jié)合圖象進行分析求解，注意計算能力的培養(yǎng)．