(本小題滿分12分)

    某地區(qū)對12歲兒童瞬時記憶能力進行調(diào)查.瞬時記憶能力包括聽覺記憶能力與視覺記憶能力.某班學(xué)生共有40人,下表為該班學(xué)生瞬時記憶能力的調(diào)查結(jié)果.例如表中聽覺記憶能力為中等,且視覺記憶能力偏高的學(xué)生為3人.

     視覺        

視覺記憶能力

偏低

中等

偏高

超常

聽覺

記憶

能力

偏低

0

7

5

1

中等

1

8

3

偏高

2

0

1

超常

0

2

1

1

由于部分數(shù)據(jù)丟失,只知道從這40位學(xué)生中隨機抽取一個,視覺記憶能力恰為中等,且聽覺記憶能力為中等或中等以上的概率為

(I)試確定、的值;

(II)從40人中任意抽取3人,求其中至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生的概率;

(III)從40人中任意抽取3人,設(shè)具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的學(xué)生人數(shù)為,求隨機變量的數(shù)學(xué)期望

 

【答案】

(1)的值為6,的值為2. (2)

(3)的分布列為

 

0

1

2

3

 

 

 

隨機變量的數(shù)學(xué)期望為

【解析】本試題主要是考查了分布列和數(shù)學(xué)期望的運算,以及古典概型概率的運算,對立事件的概率等綜合運用。

(1)由表格數(shù)據(jù)可知,視覺記憶能力恰為中等,且聽覺記憶能力為中等或中等以上的學(xué)生共有人.記“視覺記憶能力恰為中等,且聽覺記憶能力為中等或中等以上”為事件,

利用古典概型概率公式,則,解得,

(2)由表格數(shù)據(jù)可知,具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生共有8人.

記“至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生”為事件

則“沒有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生”為事件,運用對立事件的概率公式可知

(3)由于從40位學(xué)生中任意抽取3位的結(jié)果數(shù)為,其中具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的學(xué)生共24人,從40位學(xué)生中任意抽取3位,其中恰有位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的結(jié)果數(shù)為,所以從40位學(xué)生中任意抽取3位,其中恰有位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的概率為, ,然后列出分布列。

解:(1)由表格數(shù)據(jù)可知,視覺記憶能力恰為中等,且聽覺記憶能力為中等或中等以上的學(xué)生共有人.記“視覺記憶能力恰為中等,且聽覺記憶能力為中等或中等以上”為事件,

,解得.………………………………………………2分

所以

答:的值為6,的值為2.………………………………………………………3分

(2)由表格數(shù)據(jù)可知,具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生共有8人.

方法1:記“至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生”為事件

則“沒有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生”為事件,

所以

答:從這40人中任意抽取3人,其中至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生的概率為.……………………………………………………………6分

方法2:記“至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生”為事件

所以

答:從這40人中任意抽取3人,其中至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生的概率為.……………………………………………………6分

(3)由于從40位學(xué)生中任意抽取3位的結(jié)果數(shù)為,其中具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的學(xué)生共24人,從40位學(xué)生中任意抽取3位,其中恰有位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的結(jié)果數(shù)為,………………………7分

所以從40位學(xué)生中任意抽取3位,其中恰有位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的概率為,…………………………8分

的可能取值為0,1,2,3,………………………………………………9分

因為, ,

,

所以的分布列為

 

0

1

2

3

 

 

……10分

 

所以

答:隨機變量的數(shù)學(xué)期望為.…………………………………………12分

 

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=
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