【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)且時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時,若函數(shù)的兩個極值點分別為、,證明.
【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為,;無單調(diào)遞減區(qū)間;(2)證明見解析.
【解析】
(1)求得,分類討論,即可求解的單調(diào)區(qū)間,得到答案;
(2)根據(jù)是函數(shù)的兩個零點,設(shè)是方程的兩個實數(shù)解,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)在處取得極大值,在處取得極小值,進而得到,代入得,令,則,得到,設(shè),利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值,即可求解.
(1)由題意,當(dāng)時,,,
①當(dāng)時,恒成立,所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增;
②當(dāng)時,記,則,
所以當(dāng)時,,∴單調(diào)遞減,且;
當(dāng)時,,單調(diào)遞增,且,
所以當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增.
綜上所述,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,;無單調(diào)遞減區(qū)間.
(2)由,
,
是函數(shù)的兩個零點,
是方程的兩個實數(shù)解,
由,且,得,則有,
不妨設(shè),
又,即得,
,,
即得,從而得到,
,且,
由二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)知函數(shù)在處取得極大值,在處取得極小值.
, (*)
又為方程的根,,
代人(*)式得,
令,則,,
設(shè),,,單調(diào)遞減,
從而有,.
,即得證.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,已知分別為橢圓的左、右焦點,且橢圓經(jīng)過點和點,其中為橢圓的離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點的直線橢圓于另一點,點在直線上,且.若,求直線的斜率.
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【題目】某市政府為減輕汽車尾氣對大氣的污染,保衛(wèi)藍天,鼓勵廣大市民使用電動交通工具出行,決定為電動車(含電動自行車和電動汽車)免費提供電池檢測服務(wù).現(xiàn)從全市已掛牌照的電動車中隨機抽取100輛委托專業(yè)機構(gòu)免費為它們進行電池性能檢測,電池性能分為需要更換、尚能使用、較好、良好四個等級,并分成電動自行車和電動汽車兩個群體分別進行統(tǒng)計,樣本分布如圖.
(1)采用分層抽樣的方法從電池性能較好的電動車中隨機抽取9輛,再從這9輛中隨機抽取2輛,求至少有一輛為電動汽車的概率;
(2)為進一步提高市民對電動車的使用熱情,市政府準備為電動車車主一次性發(fā)放補助,標準如下:①電動自行車每輛補助300元;②電動汽車每輛補助500元;③對電池需要更換的電動車每輛額外補助400元.試求抽取的100輛電動車執(zhí)行此方案的預(yù)算;并利用樣本估計總體,試估計市政府執(zhí)行此方案的預(yù)算.
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【題目】某地的中小學(xué)辦學(xué)條件在政府的教育督導(dǎo)下,迅速得到改變.教育督導(dǎo)一年后.分別隨機抽查了初中(用表示)與小學(xué)(用表示)各10所學(xué)校.得到相關(guān)指標的綜合評價得分(百分制)的莖葉圖如圖所示.則從莖葉圖可得出正確的信息為( )(80分及以上為優(yōu)秀). ①初中得分與小學(xué)得分的優(yōu)秀率相同;②初中得分與小學(xué)得分的中位數(shù)相同③初中得分的方差比小學(xué)得分的方差大④初中得分與小學(xué)得分的平均分相同.
A.①②B.①③C.②④D.③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)記,試判斷函數(shù)的極值點的情況;
(Ⅱ)若有且僅有兩個整數(shù)解,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD, PA=AD=2,E,F分別為PA,AB的中點,且DF⊥CE.
(1)求AB的長;
(2)求直線CF與平面DEF所成角的正弦值.
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【題目】已知函數(shù),其中,,,,且的最小值為,的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為,的圖象關(guān)于原點對稱.
(1)求函數(shù)的解析式和單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)在中,角所對的邊分別為,且,求.
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【題目】如圖,三棱錐中,底面為等邊三角形,分別是的中點.
(1)證明:平面平面;
(2)如何在上找一點,使平面并說明理由;
(3)若,對于(2)中的點,求三棱錐的體積.
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