Question

已知a＞0，b∈R，函數(shù)。
（Ⅰ）證明：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，
（i）函數(shù)的最大值為|2a-b|﹢a；
（ii）＋|2a-b|﹢a≥0；
（Ⅱ）若-1≤≤1對(duì)x∈[0，1]恒成立，求a＋b的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ） （�。� 當(dāng)b≤0時(shí)，＞0在0≤x≤1上恒成立， 此時(shí)的最大值為：＝|2a－b|﹢a； 當(dāng)b＞0時(shí)，在0≤x≤1上的正負(fù)性不能判斷， 此時(shí)的最大值為： ＝|2a－b|﹢a； 綜上所述：函數(shù)在0≤x≤1上的最大值為|2a－b|﹢a； （ⅱ） 要證＋|2a－b|﹢a≥0，即證＝﹣≤|2a－b|﹢a． 亦即證在0≤x≤1上的最大值小于（或等于）|2a－b|﹢a， ∵， ∴令 當(dāng)b≤0時(shí)，＜0在0≤x≤1上恒成立， 此時(shí)的最大值為：＝|2a－b|﹢a； 當(dāng)b＜0時(shí)，在0≤x≤1上的正負(fù)性不能判斷， ≤|2a－b|﹢a； 綜上所述：函數(shù)在0≤x≤1上的最大值小于（或等于）|2a－b|﹢a． 即＋|2a－b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：函數(shù)在0≤x≤1上的最大值為|2a－b|﹢a， 且函數(shù)在0≤x≤1上的最小值比﹣（|2a－b|﹢a）要大 ∵﹣1≤≤1對(duì)x[0，1]恒成立， ∴|2a－b|﹢a≤1 取b為縱軸，a為橫軸．則可行域?yàn)椋?IMG style="WIDTH: 54px; HEIGHT: 39px; VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120703/201207031203044471618.png">和，目標(biāo)函數(shù)為z＝a＋b． 作圖如下：由圖易得：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)為z＝a＋b過(guò)P（1，2）時(shí)，有 ∴所求a＋b的取值范圍為：。