Question

設(shè)A（2，3，1），B（4，1，2），C（6，3，7），D（-5，-4，8），求D到平面ABC的距離．

Answer 1

分析：設(shè)平面ABC的法向量n=（x，y，z），利用待定系數(shù)法求出此法向量，最后結(jié)合點(diǎn)到平面的距離公式求解即得．

解答：解：設(shè)平面ABC的法向量n=（x，y，z），
∵n•

AB

=0，n•

AC

=0，
∴

(x，y，z)•(2，-2，1)=0 (x，y，z)•(4，0，6)=0

即

2x-2y+z=0 4x+6z=0

?

x=- 3 2 z y=-z.

令z=-2，則n=（3，2，-2）．
∴cos＜n，

AD

＞=

3×(-7)+2×(-7)-2×7

32+22+(-2)2 • (-7)2+(-7)2+72

．
∴點(diǎn)D到平面ABC的距離為d，
d=|

AD

|•|cos＜n，

AD

＞|=

49

17

=

49 17

17

．

點(diǎn)評：本題主要考查了利用空間向量求點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，考查運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．