【題目】如圖，在三棱錐中，是正三角形，為其中心.面面，，，是的中點，.

（1）證明：面；

（2）求與面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】試題分析：

（1）連結(jié)，由重心的性質(zhì)可得在中有，則，結(jié)合線面平行的判定定理可得平面.

（2）解法一：作 交的延長線于，作 交的延長線于，由題意可得為與面所成角，.

解法二：以中點為原點，建立空間直角坐標(biāo)系.可得，面的法向量為，則所求角的正弦值.

試題解析：

（1）連結(jié)，因為是正三角形的中心，所以在上且，又，所以在中有，

所以，又平面， 平面，

所以平面.

（2）解法一：作 交的延長線于，作 交的延長線于，

由面面知面，所以，又 ，所以

所以面,所以面面，作，則面

連結(jié)，則為與面所成角，

∴，即所求角的正弦值為.

解法二：以中點為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

∵，

∴，， ， ，

∴，，，.

設(shè)面的法向量為，則

取，

∴，即所求角的正弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在正方體中， 在線段上運動且不與， 重合，給出下列結(jié)論：

①；

②平面；

③二面角的大小隨點的運動而變化；

④三棱錐在平面上的投影的面積與在平面上的投影的面積之比隨點的運動而變化；

其中正確的是（ ）

A. ①③④ B. ①③

C. ①②④ D. ①②

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】將邊長為1的正方形AA1O1O（及其內(nèi)部）繞OO1旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖， 弧AC 長為 ，弧A1B1 長為 ，其中B1與C在平面AA1O1O的同側(cè)．

（1）求圓柱的體積與側(cè)面積；
（2）求異面直線O1B1與OC所成的角的大小．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某商場經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客采用的付款期數(shù)X的分布列為

X

1

2

3

4

5

P

0.4

0.2

0.2

0.1

0.1

商場經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為200元；分2期或3期付款，其利潤為250元；分4期或5期付款，其利潤為300元．Y表示經(jīng)銷一件該商品的利潤．

(1)求事件：“購買該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；

(2)求Y的分布列及E(Y)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知 R，函數(shù) = ．
（1）當(dāng) 時，解不等式 ＞1；
（2）若關(guān)于 的方程 + =0的解集中恰有一個元素，求 的值；
（3）設(shè) ＞0，若對任意 ，函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值與最小值的差不超過1，求 的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】拋物線上的點到點的距離與到直線的距離之差為，過點的直線交拋物線于兩點.

（1）求拋物線的方程；

（2）若的面積為，求直線的方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在海岸處發(fā)現(xiàn)北偏東方向，距處海里的處有一艘走私船，在處北偏西方向，距處海里的處的我方輯私船奉命以海里/小時的速度追截走私船，此時走私船正以海里/小時的速度，以處向北偏東方向逃竄．問：輯私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時間．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列四個類比中，正確的個數(shù)為

（1）若一個偶函數(shù)在R上可導(dǎo)，則該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)。將此結(jié)論類比到奇函數(shù)的結(jié)論為：若一個奇函數(shù)在R上可導(dǎo)，則該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)。

（2）若雙曲線的焦距是實軸長的2倍，則此雙曲線的離心率為2.將此結(jié)論類比到橢圓的結(jié)論為：若橢圓的焦距是實軸長的一半，則此橢圓的離心率為.

（3）若一個等差數(shù)列的前3項和為1，則該數(shù)列的第2項為.將此結(jié)論類比到等比數(shù)列的結(jié)論為：若一個等比數(shù)列的前3項積為1，則該數(shù)列的第2項為1

（4）在平面上，若兩個正三角形的邊長比為1：2，則它們的面積比為1：4.將此結(jié)論類比到空間中的結(jié)論為：在空間中，若兩個正四面體的棱長比為1：2，則它們的體積比為1：8.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，△內(nèi)接于圓，是圓的直徑，四邊形為平行四邊形，平面，.

（1）求證：⊥平面；

（2）設(shè)，表示三棱錐的體積，求函數(shù)的解析式及最大值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案