（12分）已知函數(shù)f（x）＝lnx－（a≠0）

    （1）若a＝3，b＝－2，求f（x）在［，e］的最大值；

    （2）若b＝2，f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的范圍．

 

【答案】

 (1)當(dāng)且僅當(dāng)x=1，f(x)max=f(1)=a-b=-+2= ；

(2) a的范圍(-1,0)(0,+)

 

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。求解函數(shù)的最值和函數(shù)單調(diào)性的逆向運(yùn)用。

（1）由于=，然后分析當(dāng)a＝3，b＝－2,時(shí)的導(dǎo)數(shù)，分別為正和負(fù)的取值范圍，得到單調(diào)性，然后求解極值，和最值。

 

（2）因?yàn)閒(x)存在遞減區(qū)間，f′(x)<0有解那么即等價(jià)于ax2+2x-1>0有x>0的解，利用對(duì)參數(shù)a討論得到范圍。

解：(1) =-ax-b=-3x+2==-

 當(dāng)時(shí)  f′(x)0；   1<xe     f′(x)<0

當(dāng)且僅當(dāng)x=1，f(x)max=f(1)=a-b=-+2=……5分

(2) = -ax-2=

f(x)存在遞減區(qū)間，f′(x)<0有解

ax2+2x-1>0有x>0的解…………7分

a>0,顯然滿(mǎn)足…………9分

a<0時(shí)，則△=4+4a>0且ax2+2x-1=0至少有一個(gè)正根，此時(shí)-1<a<0……11分

a的范圍(-1,0)(0,+) …………12分

 

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋1，g(x)＝ln(x＋1)．

(1)求函數(shù)y＝g(x)－x在[0,1]上的最小值；

(2)當(dāng)a≥時(shí)，函數(shù)t(x)＝f(x)＋g(x)的圖像記為曲線(xiàn)C，曲線(xiàn)C在點(diǎn)(0,1)處的切線(xiàn)為l，是否存在a使l與曲線(xiàn)C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)？若存在，求出所有a的值；否則，說(shuō)明理由．

(3)當(dāng)x≥0時(shí)，g(x)≥－f(x)＋恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013-2014學(xué)年福建省福州市高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)A(l,f(1))處的切線(xiàn)l與直線(xiàn)x十3y＋2＝0垂直，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則S2013的值為( )

A. B. C. D.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013屆浙江省、蘭溪一中高二下期中理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（1）已知函數(shù)f(x)=x－ax+(a－1)，。討論函數(shù)的單調(diào)性；       

（2）.已知函數(shù)f (x)=lnx，g(x)=ex．設(shè)直線(xiàn)l為函數(shù) y＝f (x) 的圖象上一點(diǎn)A(x0，f (x0))處的切線(xiàn)．問(wèn)在區(qū)間(1，+∞)上是否存在x0，使得直線(xiàn)l與曲線(xiàn)y=g(x)也相切．若存在，這樣的x0有幾個(gè)？，若沒(méi)有，則說(shuō)明理由。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練（河北） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝x3－2x2＋ax(x∈R，a∈R)，在曲線(xiàn)y＝f(x)的所有切線(xiàn)中，有且僅有一條切線(xiàn)l與直線(xiàn)y＝x垂直．

(1)求a的值和切線(xiàn)l的方程；

(2)設(shè)曲線(xiàn)y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線(xiàn)的傾斜角為θ，求θ的取值范圍

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：浙江省杭州十四中2011-2012學(xué)年高三2月月考試題-數(shù)學(xué)（理） 題型：解答題

 

    已知函數(shù)f （x）=lnx，g（x）=ex．

    （I）若函數(shù)φ （x） = f （x）－，求函數(shù)φ （x）的單調(diào)區(qū)間；

    （Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)l為函數(shù) y＝f （x） 的圖象上一點(diǎn)A（x0，f （x0））處的切線(xiàn)．證明：在區(qū)間（1，+∞）上存在唯一的x0，使得直線(xiàn)l與曲線(xiàn)y=g（x）相切．

    注：e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

 

 

 

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