(2010•上饒二模)如圖,設(shè)三棱錐O-ABC的三條側(cè)棱OA,OB,OC兩兩垂直,三個(gè)側(cè)面與底面所成的二面角O-AB-C,O-BC-A,O-CA-B分別等于α1,α2,α3.記△OAB,△OBC,△OCA,△ABC的面積分別為S1,S2,S3,S,則下列四個(gè)命題:(1)Si=Scosαi(i=1,2,3)(2)若∠BAO=∠CAO=45°,則∠BAC=60°(3)S2=S12+S22+S32.(4)α1,α2,α3的取值可以分別是30°,45°,60°.
其中正確命題的序號(hào)是
(1)(2)(3)
(1)(2)(3)
(填上所有正確命題的序號(hào))
分析:由題設(shè)知,cosαi=
Si
S
(i=1,2,3),所以Si=Scosαi(i=1,2,3);由∠BAO=∠CAO=45°,知cos∠BAC=cos45°•cos45°=
1
2
,所以∠BAC=60°;設(shè)OA=a,OB=b,OC=c,H為垂心,故AD⊥BC,由OA、OB、OC兩兩垂直,知S12+S22+S32=
1
4
( a2 b2+b2 c2+a2 c2)=
1
4
a2(b2+c2)+
1
4
b2 c2,由此能導(dǎo)出S12+S22+S32=
1
4
(b2+c2)•AD2=
1
4
BC2•AD2=S2;α1,α2,α3的取值不可以分別是30°,45°,60°.
解答:解:由題設(shè)知,cosαi=
Si
S
(i=1,2,3),
∴Si=Scosαi(i=1,2,3),
故(1)成立;
∵∠BAO=∠CAO=45°,∴cos∠BAC=cos45°•cos45°=
1
2
,
∴∠BAC=60°,
故(2)成立;
如圖
設(shè)OA=a,OB=b,OC=c,
∵H為垂心∴AD⊥BC,
又∵OA、OB、OC兩兩垂直,
∴S1=
1
2
ab
,S2=
1
2
bc,S3=
1
2
ac  S=
1
2
BC•AD,
∴S12+S22+S32=
1
4
( a2 b2+b2 c2+a2 c2)=
1
4
a2(b2+c2)+
1
4
b2 c2…①
又∵在Rt△BOC中,OD⊥BC,
∴OB2•OC2=b2 c2=OD2•BC2=OD2•(b2+c2)…②
∴②代入①得:S12+S22+S32=
1
4
(b2+c2)•AD2=
1
4
BC2•AD2=S2
故(3)成立.
α1,α2,α3的取值不可以分別是30°,45°,60°.
故(4)不成立.
故答案為:(1)(2)(3).
點(diǎn)評(píng):本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征,是基礎(chǔ)題.解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
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2,(x<0)
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x2
4
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AB
CD
|
CD
|
的最大值是(  )

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x
-
1
3x
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次項(xiàng)的系數(shù)是
1
1

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