Question

已知函數(shù).
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)時(shí)，若對任意，存在，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（０，１）上單調(diào)遞減；
函數(shù)在（１，＋∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞減； 
函數(shù)在上單調(diào)遞增；
函數(shù)上單調(diào)遞減，
（Ⅱ）

試題分析：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824004400798901.png" style="vertical-align:middle;" />
所以
令
（1）當(dāng)
所以，當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞
（2）當(dāng)
即，解得
①當(dāng)時(shí)，恒成立，
此時(shí)，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
②當(dāng)
時(shí)，單調(diào)遞減；
時(shí)，單調(diào)遞增；
，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；
③當(dāng)時(shí)，由于
時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；
時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增。
綜上所述：
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（０，１）上單調(diào)遞減；
函數(shù)在（１，＋∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞減； 
函數(shù)在上單調(diào)遞增；
函數(shù)上單調(diào)遞減，
（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824004401594742.png" style="vertical-align:middle;" />，由（Ⅰ）知，
，當(dāng)，
函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，
函數(shù)單調(diào)遞增，所以在（0，2）上的最小值為
由于“對任意，存在，使”等價(jià)于
“在[1，2]上的最小值不大于在（0，2）上的最小值” （*）
又，所以
①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240044018441021.png" style="vertical-align:middle;" />，此時(shí)與（*）矛盾；
②當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824004401875914.png" style="vertical-align:middle;" />，同樣與（*）矛盾；
③當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240044019371026.png" style="vertical-align:middle;" />
解不等式，可得
綜上，的取值范圍是
點(diǎn)評：典型題，本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問題，恒成立問題，往往通過“分離參數(shù)”，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值。涉及對數(shù)函數(shù)，要特別注意函數(shù)的定義域。