已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且滿足f(x+2)=-f(x)?.
(1)求證:f(x)是周期函數(shù);
(2)若f(x)為奇函數(shù),且當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=
1
2
x,求f(x)在[-1,3]的解析式;
(3)在(2)的條件下.求使f(x)=-
1
2
在[0,2 011]上的所有x的個(gè)數(shù).
分析:(1)由已知等式f(x+2)=-f(x),用x+2替換x,結(jié)合函數(shù)周期性的定義和已知條件,不難得到f(x)是以4為一個(gè)周期的周期函數(shù).
(2)根據(jù)函數(shù)在[0,1]上的表達(dá)式結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù),可得當(dāng)-1≤x≤0時(shí),f(x)=
1
2
x.再設(shè)1<x≤3,則得f(x-2)=
1
2
(x-2)=-f(x),從而可得f(x)在區(qū)間(1,3]上的表達(dá)式,綜上所述,可得f(x)在[-1,3]的解析式.
(3)當(dāng)x∈[-1,3)時(shí),f(x)=-
1
2
的解是x=-1,再結(jié)合f(x)是以4為周期的函數(shù)可得:f(x)=-
1
2
的所有解為x=4n-1 (n∈Z),再解不等式,通過找整數(shù)解得到使f(x)=-
1
2
在[0,2 011]上的所有x的個(gè)數(shù).
解答:解(1)∵f(x+2)=-f(x),
∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),…(2分)
∴f(x)是以4為一個(gè)周期的周期函數(shù).…(4分)
(2)解  當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=
1
2
x,
設(shè)-1≤x≤0,則0≤-x≤1,∴f(-x)=
1
2
(-x)=-
1
2
x.
∵f(x)是奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x),
∴-f(x)=-
1
2
x,即f(x)=
1
2
x.…(6分)
故f(x)=
1
2
x(-1≤x≤1)…(8分)
再設(shè)1<x≤3,則-1<x-2≤1,∴f(x-2)=
1
2
(x-2),
又∵f(x-2)=-f(x),∴-f(x)=
1
2
(x-2),可得f(x)=-
1
2
(x-2)(1<x≤3).
綜上所述,f(x)在[-1,3]的解析式為:f(x)=
1
2
x                (-1≤x≤1)
-
1
2
(x-2)       (1<x≤3)
…(10分)
(3)由f(x)=-
1
2
,當(dāng)x∈[-1,3)時(shí),解得x=-1.
∵f(x)是以4為周期的周期函數(shù).
∴f(x)=-
1
2
的所有解為x=4n-1 (n∈Z).…(12分)
令0≤4n-1≤2011,則
1
4
≤n≤503,
又∵n∈Z,∴1≤n≤503 (n∈Z),
∴在[0,2 011]上共有503個(gè)x使f(x)=-
1
2
.…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題以分段函數(shù)為例,求函數(shù)的周期并求函數(shù)的解析式,著重考查了函數(shù)的奇偶性、周期性和方程解的個(gè)數(shù)討論等知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=log3
3
x
1-x
,M(x1,y1),N(x2,y2)
是f(x)圖象上的兩點(diǎn),橫坐標(biāo)為
1
2
的點(diǎn)P滿足2
OP
=
OM
+
ON
(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(Ⅰ)求證:y1+y2為定值;
(Ⅱ)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,其中n∈N*,且n≥2,求Sn
(Ⅲ)已知an=
1
6
,                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
,其中n∈N*,Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若Tn<m(Sn+1+1)對(duì)一切n∈N*都成立,試求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列說法正確的有(  )個(gè).
①已知函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),若f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增,則對(duì)任意的?x∈(a,b),有f′(x)>0.
②函數(shù)f(x)圖象在點(diǎn)P處的切線存在,則函數(shù)f(x)在點(diǎn)P處的導(dǎo)數(shù)存在;反之若函數(shù)f(x)在點(diǎn)P處的導(dǎo)數(shù)存在,則函數(shù)f(x)圖象在點(diǎn)P處的切線存在.
③因?yàn)?>2,所以3+i>2+i,其中i為虛數(shù)單位.
④定積分定義可以分為:分割、近似代替、求和、取極限四步,對(duì)求和In=
n
i=1
f(ξi)△x
中ξi的選取是任意的,且In僅于n有關(guān).
⑤已知2i-3是方程2x2+px+q=0的一個(gè)根,則實(shí)數(shù)p,q的值分別是12,26.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sin(2x-
π
6
),g(x)=sin(2x+
π
3
),直線y=m與兩個(gè)相鄰函數(shù)的交點(diǎn)為A,B,若m變化時(shí),AB的長(zhǎng)度是一個(gè)定值,則AB的值是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=x3-x,其圖象記為曲線C.
(i)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(ii)證明:若對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)x1,曲線C與其在點(diǎn)P1(x1,f(x1))處的切線交于另一點(diǎn)P2(x2,f(x2)),曲線C與其在點(diǎn)P2(x2,f(x2))處的切線交于另一點(diǎn)P3(x3,f(x3)),線段P1P2,P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積記為S1,S2.則
S1S2
為定值;
(Ⅱ)對(duì)于一般的三次函數(shù)g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),請(qǐng)給出類似于(Ⅰ)(ii)的正確命題,并予以證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3-ax+b存在極值點(diǎn).
(1)求a的取值范圍;
(2)過曲線y=f(x)外的點(diǎn)P(1,0)作曲線y=f(x)的切線,所作切線恰有兩條,切點(diǎn)分別為A、B.
(ⅰ)證明:a=b;
(ⅱ)請(qǐng)問△PAB的面積是否為定值?若是,求此定值;若不是求出面積的取值范圍.

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同步練習(xí)冊(cè)答案