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已知對任意的x>0恒有a1nx≤b(x-1)成立.
(1)求正數a與b的關系;
(2)若a=1,設f(x)=m+n,(m,n∈R),若1nx≤f(x)≤b(x-1)對?x>0恒成立,求函數f(x)的解析式;
(3)證明:1n(n!)>2n-4(n∈N,n≥2)
【答案】分析:(1)由條件構造函數,進而把不等式問題轉化為函數的最值問題,求導,從而得到a與b的關系;
(2)待定系數法求函數的解析式,注意不等式中等號成立的條件,是解答此題的關鍵;
(3)借助于(2)的結論來證明(3),利用放縮法達到證明不等式的目的.
解答:解:(1)設f(x)=alnx-b(x-1),
易知f(1)=0,由已知f(x)≤0恒成立,
所以函數f(x)在x=1處取得最大值.∴f'(1)=0,∴a=b
又∵a>0,∴f(x)在x=1處取得極大值,符合題意,
即關系式為a=b.(3分)
(2)∵a=1,∴b=1∴恒成立,
令x=1,有0≤m+n≤0,∴m+n=0(5分)∴,
對?x>0恒成立,∴須1-m=-1,即m=2∴函數(7分)
(3)由(2)知:(9分)
=
(12分)
點評:利用函數的單調性、最值證明不等式,體現了導數的作用;不等式等號成立的條件,體現了賦值法求某點的函數值.
練習冊系列答案
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(2)若a=1,設f(x)=m
x
+n,(m,n∈R),若1nx≤f(x)≤b(x-1)對?x>0恒成立,求函數f(x)的解析式;
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n
(n∈N,n≥2)

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