Question

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB＝2，AA₁＝，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AA₁上．

(1)當(dāng)AE∶EA₁＝1∶2時(shí)，求證DE⊥BC₁；
(2)是否存在點(diǎn)E，使二面角D-BE-A等于60°，若存在求AE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）見解析（2）存在

(1)證明:連接DC₁，因?yàn)?i>ABC-A₁B₁C₁為正三棱柱，所以△ABC為正三角形，又因?yàn)?i>D為AC的中點(diǎn)，所以BD⊥AC，又平面ABC⊥平面ACC₁A₁，所以BD⊥平面ACC₁A₁，所以BD⊥DE.因?yàn)?i>AE∶EA₁＝1∶2，AB＝2，AA₁＝，所以AE＝，AD＝1，所以在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，在Rt△DCC₁中，∠C₁DC＝60°，所以∠EDC₁＝90°，即ED⊥DC₁，又BD∩DC₁＝D，所以ED⊥平面BDC₁，BC₁?面BDC₁，所以ED⊥BC₁.
(2)解　假設(shè)存在點(diǎn)E滿足條件，設(shè)AE＝h.
取A₁C₁的中點(diǎn)D₁，連接DD₁，則DD₁⊥平面ABC，所以DD₁⊥AD，DD₁⊥BD，分別以DA，DB，DD₁所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則A(1,0,0)，B(0，，0)，E(1,0，h)，所以＝(0，，0)，＝(1,0，h)，＝(－1，，0)，＝(0,0，h)，設(shè)平面DBE的一個(gè)法向量為n₁＝(x₁，y₁，z₁)，
則，令z₁＝1，得n₁＝(－h,0,1)，同理，平面ABE的一個(gè)法向量為n₂＝(x₂，y₂，z₂)，則，∴n₂＝(，1,0)．
∴cos〈n₁，n₂〉＝＝cos 60°＝.解得h＝<，故存在點(diǎn)E，當(dāng)AE＝時(shí)，二面角D-BE-A等于60°.