Question

18．已知常數(shù)a＞0，函數(shù)f（x）=ln（1+ax）-$\frac{2x}{x+2}$．討論f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，注意對(duì)a分類討論．

解答 解：∵f（x）=ln（1+ax）-$\frac{2x}{x+2}$，
∴f′（x）=$\frac{a}{1+ax}$-$\frac{4}{{（x+2）}^{2}}$=$\frac{{ax}^{2}-4（1-a）}{（1+ax{）（x+2）}^{2}}$，
∵（1+ax）（x+2）²＞0，
∴當(dāng)1-a≤0時(shí)，即a≥1時(shí)，f′（x）≥0恒成立，
則函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
當(dāng)0＜a≤1時(shí)，由f′（x）=0得x=±$\frac{2\sqrt{a（1-a）}}{a}$，
則函數(shù)f（x）在（0，$\frac{2\sqrt{a（1-a）}}{a}$）單調(diào)遞減，在（$\frac{2\sqrt{a（1-a）}}{a}$，+∞）單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．