Question

【題目】已知橢圓的離心率為，左焦點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在圓上，求實(shí)數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）焦點(diǎn)坐標(biāo)得，再由離心率得，從而可得，于是有橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)，將代入，化簡(jiǎn)得一元二次方程，從而可得的橫坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由直線方程得縱坐標(biāo)，然后由對(duì)稱性得點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)在圓上可求得．

解：（1）設(shè)橢圓的焦距為，則

因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，即

因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)為，所以，所以

所以橢圓的方程為

（2）設(shè)，將代入，化簡(jiǎn)得

，因?yàn)橹本�與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，

所以，解得

所以.

所以.

因?yàn)?/span>，關(guān)于直線的對(duì)稱，所以，

解得

因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，即，

解得.

又，所以或.