Question

f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且x∈[0，1）時f（x）為增函數(shù)，則不等式f(x)+f(x-

1

2

)＜0的解集為

(-

1

2

，

1

4

)

．

Answer 1

分析：根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得：x∈（-1，0]，時，f（x）也為增函數(shù)，可得f（x）是定義在（-1，1）上是增函數(shù)．所以由不等式f(x)+f(x-

1

2

)＜0變形為f(x)＜f(

1

2

-x)，再利用f（x）是定義在（-1，1）上是增函數(shù)，得到不等式組，進(jìn)而求出答案．

解答：解：因為f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且x∈[0，1）時f（x）為增函數(shù)，
所以根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得：x∈（-1，0]，時，f（x）也為增函數(shù)，
所以f（x）是定義在（-1，1）上是增函數(shù)．
因為f(x)+f(x-

1

2

)＜0，并且f（x）是奇函數(shù)，
所以f(x)＜f(

1

2

-x)，
又因為f（x）是定義在（-1，1）上是增函數(shù)，
所以

-1＜x＜1 -1＜ 1 2 -x＜1 x＜ 1 2 -x

，解得：-

1

2

＜x＜

1

4

．
故答案為：(-

1

2

，

1

4

)．

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的應(yīng)該性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、定義域等性質(zhì)，并且正確的利用函數(shù)的性質(zhì)將抽象不等式轉(zhuǎn)化為不等式進(jìn)行求解，而轉(zhuǎn)化時要注意定義域的限制即要進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，此題屬于中檔題，是易錯題．