Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為9x﹣y+b＝0，求實(shí)數(shù)a，b的值；

（2）若a≤0，求f（x）的單調(diào)減區(qū)間；

（3）對(duì)一切實(shí)數(shù)a∈（0，1），求f（x）的極小值的最大值．

Answer 1

【答案】（1）a＝5．b＝﹣15．（2），（1，+∞）．（3）．

【解析】

（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即切線的斜率，待定系數(shù)即可求解；

（2）求導(dǎo)，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性即可；

（3）利用導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行討論，求極小值關(guān)于的函數(shù)，再求函數(shù)的最大值即可.

（1）f′（x）＝ax2﹣（a+1）x+1（a∈R），

由f′（2）＝9，得a＝5．

∴

∴f（2）＝3，

∴（2，3）在直線9x﹣y+b＝0上，

∴b＝﹣15．

（2）①若a＝0，，

∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞）．

②若a＜0，則，

令f′（x）＜0，得．∴，或x＞1．

∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為，（1，+∞）．

（3），0＜a＜1，

列表：

x	（﹣∞，1）	1	（1，）		（，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

由圖可知：

f（x）的極小值為

．

當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）的極小值f（）取得最大值為．

故函數(shù)f（x）的極小值f（）取得最大值為.