橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)直線與橢圓M交于A、C兩點(diǎn)，直線與橢圓M交于B、D兩點(diǎn)，四邊形ABCD是平行四邊形
（1）求橢圓M的方程；
（2）求證：平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于原點(diǎn)O；
（3）若平行四邊形ABCD為菱形，求菱形ABCD的面積的最小值

（1）；（2）詳見(jiàn)解析；（3）最小值為

解析試題分析：（1）依題意有，再加上，解此方程組即可得的值，從而得橢圓 的方程（2）由于四邊形ABCD是平行四邊形，所以ABCD的對(duì)角線AC和BD的中點(diǎn)重合
利用（1）所得橢圓方程，聯(lián)立方程組消去得：，顯然點(diǎn)A、C的橫坐標(biāo)是這個(gè)方程的兩個(gè)根，由此可得線段的中點(diǎn)為 同理可得線段的中點(diǎn)為，由于中點(diǎn)重合，所以，解得：或(舍)這說(shuō)明和都過(guò)原點(diǎn)即相交于原點(diǎn)（3）由于對(duì)角線過(guò)原點(diǎn)且該四邊形為菱形，所以其面積為由方程組易得點(diǎn)A的坐標(biāo)（用表示），從而得（用表示）；同理可得（由于，故仍可用表示）這樣就可將表示為的函數(shù)，從而求得其最小值
試題解析：（1）依題意有，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/eb/3/jtsbh3.png" style="vertical-align:middle;" />，所以得
故橢圓的方程為                                    3分
（2）依題意，點(diǎn)滿(mǎn)足
所以是方程的兩個(gè)根
得
所以線段的中點(diǎn)為 
同理，所以線段的中點(diǎn)為         5分
因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/4f/4/640rz.png" style="vertical-align:middle;" />是平行四邊形，所以
解得，或(舍)
即平行四邊形的對(duì)角線和相交于原點(diǎn)                7分
（3）點(diǎn)滿(mǎn)足
所以是方程的兩個(gè)根，即
故
同理，                     9分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/c1/5/xyct82.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，其中
從而菱形的面積

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

橢圓C:  +=1(a>b>0)的離心率e=,a+b=3.

(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,A,B,D是橢圓C的頂點(diǎn),P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn),直線DP交x軸于點(diǎn)N,直線AD交BP于點(diǎn)M,設(shè)BP的斜率為k,MN的斜率為m.證明2m-k為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓M：＝1(a＞b＞0)的短半軸長(zhǎng)b＝1，且橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的周長(zhǎng)為6＋4.
(1)求橢圓M的方程；
(2)設(shè)直線l：x＝my＋t與橢圓M交于A，B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)C，求t的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓:的離心率,原點(diǎn)到過(guò)點(diǎn),的直線的距離是.
（1）求橢圓的方程；
（2）若橢圓上一動(dòng)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，求 的取值范圍；
（3）如果直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)，，且，都在以為圓心的圓上，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2在坐標(biāo)軸上,離心率為,且過(guò)點(diǎn)P(4,-).
(1)求雙曲線的方程.
(2)若點(diǎn)M(3,m)在雙曲線上,求證:·=0.
(3)求△F1MF2的面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)是F1（一3,0)，一條漸近線的方程是
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若以k（k≠0)為斜率的直線與雙曲線C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M, N,且線段MN的
垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求k的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

過(guò)橢圓Γ：＝1(a＞b＞0)右焦點(diǎn)F2的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，F1為其左焦點(diǎn)，已知△AF1B的周長(zhǎng)為8，橢圓的離心率為.
(1)求橢圓Γ的方程；
(2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓Γ恒有兩個(gè)交點(diǎn)P，Q，且⊥？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，直線與軸交于點(diǎn)，若（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)是橢圓上的任意一點(diǎn)，為圓的任意一條直徑（、為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)），求的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在直角坐標(biāo)系xOy中，中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C上的點(diǎn)(2，1)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4.
(1)求橢圓C的方程；
(2)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l與橢圓C分別交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在x軸下方，且＝3.求過(guò)O，A，B三點(diǎn)的圓的方程．

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