Question

已知向量

a

=（cos²ωx-sin²ωx，sinωx），

b

=（

3

，2cosωx），函數(shù)f（x）=

a

•

b

（x∈R）的圖象關(guān)于直線x=

π

2

對(duì)稱，其中ω為常數(shù)，且ω∈（0，1）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）若將y=f（x）圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?span mathtag="math" >

1

6

，再將所得圖象向右平移

π

3

個(gè)單位，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=h（x）的圖象，求y=h（x）在[-

π

4

，

π

4

]上的取值范圍．

Answer 1

（本小題滿分12分）
（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=

a

•

b

=（cos²ωx-sin²ωx，sinωx）•（

3

，2cosωx）
=

3

（cos²ωx-sin²ωx）+2sinωxcosωx
=

3

cos2ωx+sin2ωx
=2sin（2ωx+

π

3

），
函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

2

對(duì)稱，
所以2sin（2ωx+

π

3

）=±2，ωπ+

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z，ω=k+

1

6

，k∈Z，
其中ω為常數(shù)，且ω∈（0，1）．所以ω=

1

6

．
函數(shù)f（x）=2sin（

1

3

x+

π

3

）；
（Ⅱ）若將y=f（x）圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?span mathtag="math" >

1

6

，
再將所得圖象向右平移

π

3

個(gè)單位，縱坐標(biāo)不變，
得到y(tǒng)=2sin（2x-

π

3

）的圖象，所以h（x）=2sin（2x-

π

3

），
x∈[-

π

4

，

π

4

]，∴2x-

π

3

∈[-

5π

6

，

π

6

]，∴2sin（2x-

π

3

）∈[-2，1]
h（x）在[-

π

4

，

π

4

]上的取值范圍[-2，1]．