Question

設S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項和，
（1）若S₃，S₉，S₆成等差數(shù)列，求證：a₂，a₈，a₅成等差數(shù)列．
（2）設p，r，t，k，m，n∈N*，且p，r，t成等差數(shù)列，若pS_k，rS_m，tS_n成等差數(shù)列，試判斷pa_k+1，ra_m+1，ta_n+1三者關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）設{a_n}的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式及2S₉=S₆+S₃，建立關于q的方程解出q³=-

1

2

，從而化簡得a₂+a₅-2a₈=0，所以a₂，a₈，a₅成等差數(shù)列．
（2）根據(jù)題意，可得2rS_m=pS_k+tS_n，當q=1時，結合2r=p+t不難推出2ra_m+1=pa_k+1+ta_n+1成立，即pa_k+1，ra_m+1，ta_n+1成等差數(shù)列．當q≠1時，根據(jù)等比數(shù)列的通項與求和公式，化簡等式2rS_m=pS_k+tS_n得到2ra₁q^m=pa₁q^k+ta₁qⁿ，即2ra_m+1=pa_k+1+ta_n+1．由此可得若pS_k，rS_m，tS_n成等差數(shù)列，則pa_k+1，ra_m+1，ta_n+1成等差數(shù)列．

解答：解：（1）依題意，設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
可得2S₉=S₆+S₃，即2

a1(1-q9)

1-q

=

a1(1-q6)

1-q

+

a1(1-q3)

1-q

整理得2q⁶-q³-1=0，解q³=1或-

1

2

，
∵q=1時，2S₉=S₆+S₃不成立
∴q³=-

1

2

，
可得a₂+a₅-2a₈=a₂（1+q³-2q⁶）=a₂（1-

1

2

-2×

1

4

）=0
∴a₂+a₅=2a₈，即a₂，a₈，a₅成等差數(shù)列．
（2）設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
由pS_k，rS_m，tS_n成等差數(shù)列，可得2rS_m=pS_k+tS_n，
當q=1時，a_k+1=a_m+1=a_n+1=a₁，結合2r=p+t得到2ra_m+1=pa_k+1+ta_n+1．
當q≠1時，由2rS_m=pS_k+tS_n結合等比數(shù)列前n項和公式，
化簡得2ra₁（1-q^m）=pa₁（1-q^k）+ta₁（1-qⁿ），
∵2r=p+t，可得2ra₁=pa₁+ta₁，
∴上式化簡，得2ra₁q^m=pa₁q^k+ta₁qⁿ，即2ra_m+1=pa_k+1+ta_n+1．
綜上所述，若pS_k，rS_m，tS_n成等差數(shù)列，則pa_k+1，ra_m+1，ta_n+1成等差數(shù)列．

點評：本題給出等比數(shù)列滿足的條件，探索pa_k+1，ra_m+1，ta_n+1是否成等差數(shù)列的問題．著重考查了等比數(shù)列的通項公式、求和公式和等差數(shù)列、等比數(shù)列之間的關系等知識，屬于中檔題．