已知函數(shù),設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)為,其中為正實(shí)數(shù).
(1)用表示;
(2),若,試證明數(shù)列為等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)若數(shù)列的前項(xiàng)和,記數(shù)列的前項(xiàng)和,求.
(1);(2)證明見解析,;(3) .
解析試題分析:(1)直接利用導(dǎo)數(shù)得出切線斜率,寫出點(diǎn)處切線方程,在切線方程中令,就可求出切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即;(2)要證明數(shù)列為等比數(shù)列,關(guān)鍵是找到與的關(guān)系,按題設(shè),它們由聯(lián)系起來,,把用(1)中的結(jié)論代換,變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/df/a/mcci42.png" style="vertical-align:middle;" />的式子,它應(yīng)該與是有聯(lián)系的,由此就可得出結(jié)論;(3)按照要求,首先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,當(dāng)然要利用(),直接等于,數(shù)列實(shí)際上是一個(gè)等差數(shù)列,那么數(shù)列就是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘得到的新數(shù)列,其前項(xiàng)的求法是乘公比錯(cuò)位相減法,即,記等比數(shù)列的公比是,則有
,兩式相減,即,這個(gè)和是容易求得的.
試題解析:(1)由題可得,所以在曲線上點(diǎn)處的切線方程為,即
令,得,即
由題意得,所以 5′
(2)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/33/e/1gqht2.png" style="vertical-align:middle;" />,所以
即,
所以數(shù)列為等比數(shù)列故 10′
(3)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為,故數(shù)列的通項(xiàng)公式為
①
①的 ②
①②得
故 16′
考點(diǎn):(1)函數(shù)圖象的切線;(2)等比數(shù)列的定義;(3)乘公比錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1= (n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an;
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn=(3n-1)an,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,若不等式(-1)nλ<Tn對(duì)一切n∈N*恒成立,求λ的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和,、、成等差數(shù)列,且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)是否存在正整數(shù),使得?若存在,求出符合條件的所有的集合;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)是公比大于1的等比數(shù)列,為數(shù)列的前項(xiàng)和.已知,且構(gòu)成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)令,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知,數(shù)列是首項(xiàng)為,公比也為的等比數(shù)列,令
(Ⅰ)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和;
(Ⅱ)當(dāng)數(shù)列中的每一項(xiàng)總小于它后面的項(xiàng)時(shí),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
數(shù)列的前n項(xiàng)和為,
(I)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;
(Ⅱ)若,數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求不超過的最大整數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.
⑴證明:數(shù)列是等比數(shù)列,并寫出通項(xiàng)公式;
⑵若對(duì)恒成立,求的最小值;
⑶若成等差數(shù)列,求正整數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在數(shù)列中,,,對(duì)任意成立,令,且是等比數(shù)列.
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)求和:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,,.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和,求.
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