已知橢圓的方程為，點分別為其左、右頂點，點分別為其左、右焦點，以點為圓心，為半徑作圓；以點為圓心，為半徑作圓；若直線被圓和圓截得的弦長之比為；

（1）求橢圓的離心率；

（2）己知，問是否存在點，使得過點有無數(shù)條直線被圓和圓截得的弦長之比為；若存在，請求出所有的點坐標；若不存在，請說明理由．

 

 

 

【答案】

解：（1）由，得直線的傾斜角為，

則點到直線的距離，

故直線被圓截得的弦長為，

直線被圓截得的弦長為，                  （3分）

據(jù)題意有：，即，                       （5分）

化簡得：，

解得：或，又橢圓的離心率；

故橢圓的離心率為．（7分）

（2）假設(shè)存在，設(shè)點坐標為，過點的直線為；

當直線的斜率不存在時，直線不能被兩圓同時所截；

故可設(shè)直線的方程為，

則點到直線的距離，

由（1）有，得=，

故直線被圓截得的弦長為，                         （9分）

則點到直線的距離，

，故直線被圓截得的弦長為，                （11分）

據(jù)題意有：，即有，整理得，

即，兩邊平方整理成關(guān)于的一元二次方程得

，                  （13分）

關(guān)于的方程有無窮多解，

故有：，

故所求點坐標為（－1，0）或（－49，0）．                            （16分）

（注設(shè)過P點的直線為后求得P點坐標同樣得分）

【解析】略

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的方程為，點的坐標滿足過點的直線與橢圓交于、兩點，點為線段的中點，求：

                          

（1）點的軌跡方程；

（2）點的軌跡與坐標軸的交點的個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的方程為，點P的坐標為（-a，b）.

（1）若直角坐標平面上的點M、A(0,-b)，B(a，0)滿足,求點的坐標；

（2）設(shè)直線交橢圓于、兩點，交直線于點.若，證明：為的中點；

（3）對于橢圓上的點Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果橢圓上存在不同的兩個交點、滿足,寫出求作點、的步驟，并求出使、存在的θ的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分.

已知橢圓的方程為，點P的坐標為（-a，b）.

（1）若直角坐標平面上的點M、A(0,-b)，B(a，0)滿足,求點的坐標；

（2）設(shè)直線交橢圓于、兩點，交直線于點.若，證明：為的中點；

（3）對于橢圓上的點Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果橢圓上存在不同的兩個交點、滿足,寫出求作點、的步驟，并求出使、存在的θ的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分.

已知橢圓的方程為，點P的坐標為（-a，b）.

（1）若直角坐標平面上的點M、A(0,-b)，B(a，0)滿足,求點的坐標；

（2）設(shè)直線交橢圓于、兩點，交直線于點.若，證明：為的中點；

（3）對于橢圓上的點Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果橢圓上存在不同的兩個交點、滿足,寫出求作點、的步驟，并求出使、存在的θ的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆山東省聊城市高二第四次模塊檢測理科數(shù)學卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓的方程為，點P的坐標為（-a，b）.

（1）若直角坐標平面上的點M、A(0,-b)，B(a，0)滿足,求點的坐標；

（2）設(shè)直線交橢圓于、兩點，交直線于點.若，證明：為的中點；

（3）對于橢圓上的點Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果橢圓上存在不同的兩個交點、滿足,寫出求作點、的步驟，并求出使、存在的θ的取值范圍.

 

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