已知橢圓C：（）的焦距為4，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，T為直線上任意一點(diǎn)，過F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P，Q.
（i）證明：OT平分線段PQ（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；
（ii）當(dāng)最小時(shí)，求點(diǎn)T的坐標(biāo).
(1) ；（2）

試題分析：（1）因?yàn)榻咕酁?，所以，又，由此可求出的值，從而求得橢圓的方程.（2）橢圓方程化為.設(shè)PQ的方程為，代入橢圓方程得：.（�。┰O(shè)PQ的中點(diǎn)為，求出，只要，即證得OT平分線段PQ.（ⅱ）可用表示出PQ，TF可得：.
再根據(jù)取等號(hào)的條件，可得T的坐標(biāo).
試題解答：（1），又.
（2）橢圓方程化為.
（ⅰ）設(shè)PQ的方程為，代入橢圓方程得：.
設(shè)PQ的中點(diǎn)為，則
又TF的方程為，則得，
所以，即OT過PQ的中點(diǎn)，即OT平分線段PQ.
（ⅱ），又，所以
.
當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)T的坐標(biāo)為.
【考點(diǎn)定位】1、橢圓的方程；2、直線與圓錐曲線；3、最值問題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

拋物線x2=ay的準(zhǔn)線方程為y=2，則a的值為（　　）
A．8B．-8C．
1
8
D．-
1
8

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

直線l：y=x+b與拋物線C：x2=4y相切于點(diǎn)A．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)b的值，及點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求過點(diǎn)B（0，-1）的拋物線C的切線方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1(－1,0)和F2(1,0)的距離的積等于常數(shù)a2(a>1)的點(diǎn)的軌跡．給出下列三個(gè)結(jié)論：
①曲線C過坐標(biāo)原點(diǎn)；
②曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；
③若點(diǎn)P在曲線C上，則△F1PF2的面積不大于a2．
其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

過雙曲線的右頂點(diǎn)作軸的垂線與的一條漸近線相交于.若以的右焦點(diǎn)為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過，則雙曲線的方程為（  ）
      B.    C.      D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知的三個(gè)頂點(diǎn)在拋物線：上，為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，；
（1）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，，，的面積為.
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)圓心在軸上的圓與橢圓在軸的上方有兩個(gè)交點(diǎn)，且圓在這兩個(gè)交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點(diǎn)，求圓的半徑..

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的右焦點(diǎn)為,離心率,是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與的斜率乘積,動(dòng)點(diǎn)滿足,（其中實(shí)數(shù)為常數(shù)）．問是否存在兩個(gè)定點(diǎn),使得？若存在,求的坐標(biāo)及的值；若不存在,說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知、為橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)為其上一點(diǎn)，且有
.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，過與平行的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，求四邊形的面積的最大值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案