Question

（2013•奉賢區(qū)一模）某海域有A、B兩個(gè)島嶼，B島在A島正東4海里處．經(jīng)多年觀察研究發(fā)現(xiàn)，某種魚群洄游的路線是曲線C，曾有漁船在距A島、B島距離和為8海里處發(fā)現(xiàn)過(guò)魚群．以A、B所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）某日，研究人員在A、B兩島同時(shí)用聲納探測(cè)儀發(fā)出不同頻率的探測(cè)信號(hào)（傳播速度相同），A、B兩島收到魚群在P處反射信號(hào)的時(shí)間比為5：3，問(wèn)你能否確定P處的位置（即點(diǎn)P的坐標(biāo)）？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓的定義，由題意知曲線C是以A、B為焦點(diǎn)且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓，又2c=4，從而得出a，b的值即可得到曲線C的方程；
（2）由于A、B兩島收到魚群發(fā)射信號(hào)的時(shí)間比為5：3，因此設(shè)此時(shí)距A、B兩島的距離分別比為5：3，即魚群分別距A、B兩島的距離為5海里和3海里．再設(shè)P（x，y），B（2，0），由|PB|=3，及橢圓的方程列出方程組即可解出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題意知曲線C是以A、B為焦點(diǎn)且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓         （3分）
又2c=4，則c=2，a=4，故b=2

3

（5分）
所以曲線C的方程是

x2

16

+

y2

12

=1（6分）
（2）由于A、B兩島收到魚群發(fā)射信號(hào)的時(shí)間比為5：3，
因此設(shè)此時(shí)距A、B兩島的距離分別比為5：3（7分）
即魚群分別距A、B兩島的距離為5海里和3海里．       （8分）
設(shè)P（x，y），B（2，0），由|PB|=3，
∴

(x-2)2+y2

=3，（10分）∴

(x-2)2+y2=9 x2 16 + y2 12 =1 -4≤x≤4

，（12分）
∴x=2，y=±3（13分）．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）或（2，-3）（14分）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓問(wèn)題在生產(chǎn)實(shí)際中的具體應(yīng)用，涉及到橢圓方程的求法，橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，橢圓的直線方程的關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意轉(zhuǎn)化思想的靈活運(yùn)用．