Question

【題目】在極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程是，點(diǎn)是曲線上的動(dòng)點(diǎn).點(diǎn)滿足 (為極點(diǎn)).設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，已知直線的參數(shù)方程是，(為參數(shù)).

（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程與直線的普通方程；

（2）設(shè)直線交兩坐標(biāo)軸于，兩點(diǎn)，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】(1)的直角坐標(biāo)方程為，的普通方程是；(2).

【解析】試題分析：

（1）在極坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn).由題意可得曲線的極方程為，化為直角坐標(biāo)方程得，消去參數(shù)可得直線的普通方程是.

（2）由直線的方程可得.設(shè)，底邊上的高，，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得，則面積的最大值為.

試題解析：

（1）在極坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn).

由，得，

代入曲線的方程并整理，

得，

再化為直角坐標(biāo)方程，得，

即曲線的直角坐標(biāo)方程為.

直線的參數(shù)方程(為參數(shù))化為普通方程是.

（2）由直線的方程為，可知.

因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，

所以設(shè)，，

則點(diǎn)到直線的距離即為底邊上的高，

所以，其中，

所以，

所以，

所以面積的最大值為.