Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB平分∠ADC，E為PC的中點，AD=CD=1，DB=2

2

，
（Ⅰ）證明PA∥平面BDE；
（Ⅱ）證明AC⊥平面PBD；
（Ⅲ）求直線BC與平面PBD所成的角的正切值．

Answer 1

分析：（1）欲證PA∥平面BDE，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證PA與平面BDE內(nèi)一直線平行，設AC∩BD=H，連接EH，根據(jù)中位線定理可知EH∥PA，而又HE?平面BDE，PA?平面BDE，滿足定理所需條件；
（2）欲證AC⊥平面PBD，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AC與平面PBD內(nèi)兩相交直線垂直，而PD⊥AC，BD⊥AC，PD∩BD=D，滿足定理所需條件；
（3）由AC⊥平面PBD可知，BH為BC在平面PBD內(nèi)的射影，則∠CBH為直線與平面PBD所成的角，在Rt△BHC中，求出此角即可．

解答：解：（1）證明：設AC∩BD=H，連接EH，在△ADC中，
因為AD=CD，且DB平分∠ADC，
所以H為AC的中點，又有題設，
E為PC的中點，故EH∥PA，
又HE?平面BDE，PA?平面BDE，所以PA∥平面BDE
（2）證明：因為PD⊥平面ABCD，
AC?平面ABCD，所以PD⊥AC
由（1）知，BD⊥AC，PD∩BD=D，
故AC⊥平面PBD
（3）由AC⊥平面PBD可知，
BH為BC在平面PBD內(nèi)的射影，
所以∠CBH為直線與平面PBD所成的角．
由AD⊥CD，AD=CD=1，DB=2

2

，可得DH=CH=

2

2

，BH=

3 2

2

在Rt△BHC中，tan∠CBH=

CH

BH

=

1

3

，
所以直線BC與平面PBD所成的角的正切值為

1

3

．

點評：本小題主要考查直線與平面平行．直線和平面垂直．直線和平面所成的角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運算能力和推理能力．