【題目】如圖,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,側(cè)面ADD1A1和側(cè)面CDD1C1都是矩形,BC∥AD,△ABD是邊長為2的正三角形,E,F(xiàn)分別為AD,A1D1的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:DD1⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求證:平面A1BE⊥平面ADD1A1;
(Ⅲ)若CF∥平面A1BE,求棱BC的長度.
【答案】解:(Ⅰ)證明:因?yàn)閭?cè)面ADD1A1和側(cè)面CDD1C1都是矩形,
所以DD1⊥AD,且DD1⊥CD.
因?yàn)锳D∩CD=D,
所以DD1⊥平面ABCD.
(Ⅱ)證明:因?yàn)椤鰽BD是正三角形,且E為AD中點(diǎn),
所以BE⊥AD.
因?yàn)镈D1⊥平面ABCD,
而BE平面ABCD,
所以BE⊥DD1.
因?yàn)锳D∩DD1=D,
所以BE⊥平面ADD1A1.
因?yàn)锽E平面A1BE,
所以平面A1BE⊥平面ADD1A1.
(Ⅲ)解:因?yàn)锽C∥AD,F(xiàn)為A1D1的中點(diǎn),
所以BC∥A1F.
所以B、C、F、A1四點(diǎn)共面.
因?yàn)镃F∥平面A1BE,
而平面BCFA1∩平面A1BE=A1B,
所以CF∥A1B.
所以四邊形BCFA1是平行四邊形.
所以
【解析】(Ⅰ)證明DD1⊥AD,且DD1⊥CD,即可證明:DD1⊥平面ABCD;(Ⅱ)證明BE⊥平面ADD1A1.即可證明:平面A1BE⊥平面ADD1A1;(Ⅲ)證明四邊形BCFA1是平行四邊形,求棱BC的長度.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定,掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行;一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2015·陜西)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,c的極坐標(biāo)方程為=2sin.
(1)寫出c的直角坐標(biāo)方程;
(2)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)P到圓心C的距離最小時(shí),求P的直角坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)f(x)在其圖像上存在不同的兩點(diǎn)A(x1 , y1),B(x2 , y2),其坐標(biāo)滿足條件:|x1x2+y1y2|﹣ 的最大值為0,則稱f(x)為“柯西函數(shù)”, 則下列函數(shù):
①f(x)=x+ (x>0);
②f(x)=lnx(0<x<3);
③f(x)=2sinx;
④f(x)= .
其中為“柯西函數(shù)”的個(gè)數(shù)為( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,△PAD為正三角形,AB∥CD,AB=2CD,∠BAD=90°,PA⊥CD,E為棱PB的中點(diǎn) (Ⅰ)求證:平面PAB⊥平面CDE;
(Ⅱ)若直線PC與平面PAD所成角為45°,求二面角A﹣DE﹣C的余弦值.
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【題目】如圖莖葉圖記錄了甲,乙兩班各六名同學(xué)一周的課外閱讀時(shí)間(單位:小時(shí)),已知甲班數(shù)據(jù)的平均數(shù)為13,乙班數(shù)據(jù)的中位數(shù)為17,那么x的位置應(yīng)填;y的位置應(yīng)填 .
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【題目】已知兩個(gè)集合A,B,滿足BA.若對(duì)任意的x∈A,存在ai , aj∈B(i≠j),使得x=λ1ai+λ2aj(λ1 , λ2∈{﹣1,0,1}),則稱B為A的一個(gè)基集.若A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},則其基集B元素個(gè)數(shù)的最小值是 .
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【題目】已知函數(shù)f(x)= ,若函數(shù)f(x)有最大值M,則M的取值范圍是( )
A.( ,0)
B.(0, ]
C.(0, ]
D.( , ]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某社區(qū)新建了一個(gè)休閑小公園,幾條小徑將公園分成5塊區(qū)域,如圖,社區(qū)準(zhǔn)備從4種顏色不同的花卉中選擇若干種種植在各塊區(qū)域,要求每個(gè)區(qū)域隨機(jī)用一種顏色的花卉,且相鄰區(qū)域(用公共邊的)所選花卉顏色不能相同,則不同種植方法的種數(shù)共有( )
A.96
B.114
C.168
D.240
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