一艘太空飛船飛往地球,第一次觀測時(shí),如圖1發(fā)現(xiàn)一個(gè)正三角形的島嶼(邊長為
3
);第二次觀測時(shí),如圖2發(fā)現(xiàn)它每邊中央
1
3
處還有一正三角形海岬,形成了六角的星形;第三次觀測時(shí),如圖3發(fā)現(xiàn)原先每一小邊的中央
1
3
處又有一向外突出的正三角形海岬,把這個(gè)過程無限地繼續(xù)下去,就得到著名的數(shù)學(xué)模型--柯克島.
(1)把第1,2,3,…,n次觀測到的島的海岸線長記為a1,a2,a3,…,an,試求a1,a2,a3的值及an的表達(dá)式(n∈N*);
(2)把第1,2,3,…,n,…次觀測到的島的面積記為b1,b2,b3,…,bn,…,求bn(n∈N*)
分析:(1)由數(shù)列{an}的前幾項(xiàng),可得規(guī)律:此n個(gè)圖形的邊長構(gòu)成公比為
1
3
的等比數(shù)列,且它的邊數(shù)構(gòu)成公比為4的等比數(shù)列,由此結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可算出an(n∈N*)的表達(dá)式;
(2)將此n個(gè)圖形的第k(k∈N*)個(gè)圖形與第k+1個(gè)圖形相重疊,可得第k+1個(gè)圖形比第k個(gè)圖形多出3×4k-1個(gè)邊長為
3
×(
1
3
k的正三角形,由此利用正三角形的面積公式、等比數(shù)列的求和公式和累加的方法,可得bn的表達(dá)式.
解答:解:(1)由題意,可得
a1=3
3
,  a2=3
3
×
4
3
=4
3
,  a3=3
3
×(
4
3
)2=
16
3
3
…(3分)
∵第一個(gè)圖形的邊長為
3
,從第二個(gè)圖形起,每一個(gè)圖形的邊長均為上一個(gè)圖形邊長的
1
3
,
∴第n個(gè)圖形的邊長為
3
(
1
3
)n-1
;       …(5分)
∵第一個(gè)圖形的邊數(shù)為3,從第二個(gè)圖形起,每一個(gè)圖形的邊數(shù)均為上一個(gè)圖形邊數(shù)的4倍,
∴第n個(gè)圖形的邊數(shù)為3×4n-1
因此,可得an的表達(dá)式為:an=3
3
(
4
3
)n-1
.…(7分)
(2)∵b1=
3
3
4
,bn=bn-1+3×4n-2×
3
4
(
3
(
1
3
)n-1)2=bn-1+
3
4
(
4
9
)n-2
,…(11分)
b2-b1=
3
4
×(
4
9
)0
,b3-b2=
3
4
×(
4
9
)
1
,…,bn-bn-1=
3
4
×(
4
9
)
n-2

累加并利用等比數(shù)列的求和公式可得
bn=b1+
3
4
[(
4
9
)
0
+(
4
9
)
1
+…+(
4
9
)
n-3
+(
4
9
)
n-2
]
=
6
5
3
-
9
3
20
(
4
9
)n-1
.…(14分)
點(diǎn)評:本題給出實(shí)際應(yīng)用問題,求“柯克島”的周長和面積.著重考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式和歸納推理的一般方法等知識(shí),屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

一艘太空飛船飛往地球,第一次觀測時(shí),如圖1發(fā)現(xiàn)一個(gè)正三角形的島嶼(邊長為
3
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處還有一正三角形海岬,形成了六角的星形;第三次觀測時(shí),如圖3發(fā)現(xiàn)原先每一小邊的中央
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處又有一向外突出的正三角形海岬,把這個(gè)過程無限地繼續(xù)下去,就得到著名的數(shù)學(xué)模型--柯克島.把第1,2,3,…,n次觀測到的島的海岸線長記為a1,a2,a3,…,an,試求a1,a2,a3的值及an的表達(dá)式.

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