Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，判斷是否存在使得，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）不存在；見解析

【解析】

（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得到，分別討論，兩種情況，分別求解對(duì)應(yīng)的不等式，即可得出結(jié)果；

（2）先由（1）得，，推出，由時(shí)，，得到，分別討論，兩種情況，通過導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的最值等，即可得出結(jié)果.

（1）的定義域?yàn)?/span>，

由，得.

①若，則當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；

②若，令，解得.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

此時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）當(dāng)時(shí)，不存在，使得，證明如下：

由（1）知，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

所以，故，即.

因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，故.

①當(dāng)時(shí)，再由

令，則.

令，得.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，.

所以，故，

所以當(dāng)時(shí)，對(duì)，都有.

②當(dāng)時(shí)，對(duì)于，，故.

綜合①，②，當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的，都有.

所以，當(dāng)時(shí)，不存在，使得.