Question

設函數(shù).

（1）當，時，求函數(shù)的最大值；

（2）令，其圖象上存在一點，使此處切線的斜率，求實數(shù)的取值范圍；

（3）當，，時，方程有唯一實數(shù)解，求的值.

 

Answer 1

【答案】

（1）函數(shù)的最大值為；（2）實數(shù)的取值范圍是；（3）.

【解析】

試題分析：（1）將，代入函數(shù)的解析式，然后利用導數(shù)求出函數(shù)的最大值；（2）先確定函數(shù)的解析式，并求出函數(shù)的導數(shù)，然后利用導數(shù)的幾何意義將問題轉化為，利用恒成立的思想進行求解；（3）將，代入函數(shù)的解析式并確定函數(shù)的解析式，構造新函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)的極值，利用極值為零來求出參數(shù)的值.

試題解析：（1）依題意，的定義域為，

當，時，，，

由 ，得，解得；

由 ，得，解得或.

，在單調遞增，在單調遞減；

所以的極大值為，此即為最大值；

（2），，則有在上有解，

∴，

，

所以當時，取得最小值，；

（3）因為方程有唯一實數(shù)解，所以有唯一實數(shù)解，

設，則，

，，所以由得，

由得，所以在上單調遞增，

在上單調遞減，.

若有唯一實數(shù)解，則必有

，

所以當時，方程有唯一實數(shù)解.

考點：1.利用導數(shù)求函數(shù)的最值；2.函數(shù)不等式恒成立；3.參數(shù)分離法；4.函數(shù)的零點