【題目】設(shè)自然數(shù)。求證:全體不大于n的合數(shù)可重新排列(不一定按原來(lái)的大小順序排列),使得每三個(gè)依次相鄰的數(shù)都有大于1的公因數(shù)(例如,當(dāng)時(shí),排列就滿足要求)。
【答案】見(jiàn)解析
【解析】
對(duì)于,下面構(gòu)造一種排列,使之滿足要求.
令為所有的小于或等于的奇質(zhì)數(shù).因?yàn)?/span>,所以,即.令x為合數(shù),且x為的奇數(shù)倍數(shù)},
,
特別地,.
C={x是小于或等于n的偶合數(shù),且.
我們?cè)僮C明如下兩個(gè)事實(shí):
(1)
(2) 及.
因?yàn)?/span>,所以,且,從而,即.故(1)得證.
因?yàn)閚≥25.所以,.從而,.
又均為奇數(shù).所以,,從而,(它等價(jià)于).故(2)得證.
由(1)(2)可知把全體不大于n的合數(shù)組成如下的一個(gè)排列:
容易驗(yàn)證:排列①中各數(shù)兩兩不相等,它們恰是不大于n的全體合數(shù)且每三個(gè)依次相鄰的數(shù)都有大于1的公因數(shù).故本題得證.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法正確的是( )
A.離散型隨機(jī)變量的方差反映了隨機(jī)變量取值的波動(dòng)情況;
B.隨機(jī)變量,其中越小,曲線越“矮胖”;
C.若與是相互獨(dú)立事件,則與也是相互獨(dú)立事件;
D.從10個(gè)紅球和20個(gè)白球除顏色外完全相同中,一次摸出5個(gè)球,則摸到紅球的個(gè)數(shù)服從超幾何分布;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD∥BC,AP=AB=AD=1.
(Ⅰ)若直線PB與CD所成角的大小為,求BC的長(zhǎng);
(Ⅱ)求二面角B-PD-A的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】稱直角坐標(biāo)系中縱橫坐標(biāo)均為整數(shù)的 點(diǎn)為“格點(diǎn)”,稱一格點(diǎn)沿坐標(biāo)線到原點(diǎn)的最短路程為該點(diǎn)到原點(diǎn)的“格點(diǎn)距離”,格點(diǎn)距離為定值的點(diǎn)的軌跡稱為“格點(diǎn)圓”,該定值稱為格點(diǎn)圓的半徑,而每一條最短路程稱為一條半徑.當(dāng)格點(diǎn)半徑為2005時(shí),格點(diǎn)圓的半徑有________條.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】交強(qiáng)險(xiǎn)是車主必須為機(jī)動(dòng)車購(gòu)買的險(xiǎn)種,若普通6座以下私家車投保交強(qiáng)險(xiǎn)第一年的費(fèi)用 (基準(zhǔn)保費(fèi))統(tǒng)一為元,在下一年續(xù)保時(shí),實(shí)行的是費(fèi)率浮動(dòng)機(jī)制,保費(fèi)是與上一年度車輛發(fā)生道路交通安全違法行為或者道路交通事故的情況相聯(lián)系的.交強(qiáng)險(xiǎn)第二年價(jià)格計(jì)算公式具體如下:交強(qiáng)險(xiǎn)最終保費(fèi)基準(zhǔn)保費(fèi)(浮動(dòng)比率).發(fā)生交通事故的次數(shù)越多,出險(xiǎn)次數(shù)的就越多,費(fèi)率也就越髙,具體浮動(dòng)情況如下表:
某機(jī)構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況,為此搜集并整理了100輛這一品牌普通6座以下私家車一年內(nèi)的出險(xiǎn)次數(shù),得到下面的柱狀圖:
已知小明家里有一輛該品牌普通6座以下私家車且需要續(xù)保,續(xù)保費(fèi)用為元.
(1)記為事件“”,求的估計(jì)值;
(2)求的平均估計(jì)值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某網(wǎng)紅直播平臺(tái)為確定下一季度的廣告投入計(jì)劃,收集了近6個(gè)月廣告投入量(單位:萬(wàn)元)和收益(單位:萬(wàn)元)的數(shù)據(jù)如下表:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
廣告投入量/萬(wàn)元 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
收益/萬(wàn)元 | 14.21 | 20.31 | 31.8 | 31.18 | 37.83 | 44.67 |
用兩種模型①,②分別進(jìn)行擬合,得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析,得到如圖所示的殘差圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值:
7 | 30 | 1464.24 | 364 |
(1)根據(jù)殘差圖,比較模型①,②的擬合效果,應(yīng)選擇哪個(gè)模型?并說(shuō)明理由.
(2)殘差絕對(duì)值大于2的數(shù)據(jù)被認(rèn)為是異常數(shù)據(jù),需要剔除:
(i)剔除的異常數(shù)據(jù)是哪一組?
(ii)剔除異常數(shù)據(jù)后,求出(1)中所選模型的回歸方程;
(iii)廣告投入量時(shí),(ii)中所得模型收益的預(yù)報(bào)值是多少?
附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為:,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱中,,D為AB上一點(diǎn),且平面.
(1)求證:;
(2)若四邊形是矩形,且平面平面ABC,直線與平面ABC所成角的正切值等于2,,,求三樓柱的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求該函數(shù)的值域;
(2)求不等式的解集;
(3)若對(duì)于恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某社團(tuán)有男生30名,女生20名,從中抽取一個(gè)容量為5的樣本,恰好抽到2名男生和3名女生.有以下3種說(shuō)法:
①該抽樣可能是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣;
②該抽樣不可能是分層隨機(jī)抽樣;
③該抽樣中,男生被抽到的概率大于女生被抽到的概率.
其中說(shuō)法正確的為( )
A.①②③B.①②C.②③D.①③
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