Question

【題目】已知函數(shù)（， 為常數(shù)），函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底）.

（1）討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）若不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）

【解析】試題（1）求得，分三種情況討論，分別研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而可得函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）不等式對(duì)恒成立，等價(jià)于只需研究函數(shù)的最小值不小于零即可.

試題解析：（1） ，

由得： ，記，則，

由得，且時(shí)， ， 時(shí)， ，

所以當(dāng)時(shí)， 取得最大值，又，

（i）當(dāng)時(shí)， 恒成立，函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)；

（ii）當(dāng)時(shí)， 有兩個(gè)解， ，且時(shí)， ， 時(shí)， ， 時(shí)， ，所以函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；

（iii）當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)解，且時(shí)， 時(shí)， ，所以函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn)；

（2）記 ，

由，

， ，

由，

又當(dāng)， 時(shí)， ，

， 在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以恒成立，即恒成立，

綜上實(shí)數(shù)的取值范圍是.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值以及不等式恒成立問(wèn)題，屬于難題．不等式恒成立問(wèn)題常見(jiàn)方法：① 分離參數(shù)恒成立(可)或恒成立（即可）；② 數(shù)形結(jié)合(圖象在 上方即可)；③ 討論最值或恒成立；④ 討論參數(shù).本題是利用方法 ③ 求得的范圍的.