Question

【題目】已知函數(shù) 是奇函數(shù)且當(dāng) 時(shí)是減函數(shù)，若 ，則函數(shù) 的零點(diǎn)共有（ ）
A.4個(gè)
B.5個(gè)
C.6個(gè)
D.7個(gè)

Answer 1

【答案】D
【解析】根據(jù)題意，函數(shù)y=f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，則f（0）=0，
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)是減函數(shù)，且f（1）=0，則函數(shù)在（0，+∞）上只有一個(gè)零點(diǎn)，
若函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)且當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)是減函數(shù)，則f（x）在（-∞，0）為減函數(shù)，
又由f（1）=0，則f（-1）=-f（1）=0，則函數(shù)在（-∞，0）上只有一個(gè)零點(diǎn)，
故函數(shù)y=f（x）共有3個(gè)零點(diǎn)，依次為-1、0、1，
對(duì)于函數(shù) ，
當(dāng) 時(shí)，解得 ，
當(dāng) 時(shí)，解得 或x=0，
當(dāng) 時(shí)，解得 或 . 故函數(shù) 的零點(diǎn)共有7個(gè).
所以答案是：D.
【考點(diǎn)精析】掌握函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)和函數(shù)奇偶性的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫(xiě)成其并集；在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇．