【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，且當(dāng)直線斜率為2時(shí)，．

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)作拋物線的兩條弦與，問在軸上是否存在一定點(diǎn)，使得直線過點(diǎn)時(shí)，為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【答案】（1）（2）存在，定點(diǎn)

【解析】

（1）設(shè)，，由已知可得，將拋物線方程與直線方程聯(lián)立，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理，即可求解；

（2）假設(shè)在軸上存在點(diǎn)滿足條件，設(shè)，，，利用的坐標(biāo)關(guān)系可得，，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)系，設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求解.

解：（1）設(shè)，，

∵當(dāng)直線斜率為2時(shí)，，∴， ①

設(shè)直線方程為，

聯(lián)立直線方程與拋物線方程，得，

∴，代入①式得，

∴拋物線方程為．

（2）假設(shè)在軸上存在點(diǎn)，使得直線過點(diǎn)時(shí)，為定值．

設(shè)，，，

則，

、在拋物線上，則有，，

∴

， ②

設(shè)直線方程，

聯(lián)立直線方程與拋物線方程，

得，∴，，

代入②式得．

∵為定值，∴，

即，且，

∴存在定點(diǎn)，使得直線過點(diǎn)時(shí)，為定值．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖，多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為矩形，二面角A-CD-F為60°，DE∥CF，CD⊥DE，AD=2，DE=DC=3，CF=6.

（1）求證：BF∥平面ADE；

（2）在線段CF上求一點(diǎn)G，使銳二面角B-EG-D的余弦值為.

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【題目】設(shè)點(diǎn)P，Q分別是曲線y＝xe﹣x（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）和直線y＝x+3上的動(dòng)點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)間距離的最小值為（　�。�

A. B. C. D.

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【題目】下列命題是假命題的是（ ）

A. 某企業(yè)有職工150人，其中高級(jí)職稱15人，中級(jí)職稱45人，一般職員90人，若用分層抽樣的方法抽出一個(gè)容量為30的樣本，則一般職員應(yīng)抽出18人；

B. 用獨(dú)立性檢驗(yàn)（列聯(lián)表法）來考察兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系時(shí)，算出的隨機(jī)變量的值越大，說明“與有關(guān)系”成立的可能性越大；

C. 已知向量，，則是的必要條件；

D. 若，則點(diǎn)的軌跡為拋物線.

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【題目】微信已成為人們常用的社交軟件，“微信運(yùn)動(dòng)”是由騰訊開發(fā)的一個(gè)類似計(jì)步數(shù)據(jù)庫(kù)的公眾賬號(hào).手機(jī)用戶可以通過關(guān)注“微信運(yùn)動(dòng)”公眾號(hào)查看自己每天行走的步數(shù)，同時(shí)也可以和好友進(jìn)行運(yùn)動(dòng)量的PK或點(diǎn)贊.現(xiàn)從小明的微信朋友圈內(nèi)隨機(jī)選取了50人（男、女各25人），并記錄了他們某一天的走路步數(shù)，并將數(shù)據(jù)整理如下表：

步數(shù)

性別

0~3000

3001~6000

6001~9000

9001~12000

>12000

男

1

1

3

15

5

女

0

4

11

8

2

若某人一天走路的步數(shù)超過9000步被系統(tǒng)評(píng)定為“積極型”，否則被系統(tǒng)評(píng)定為“懈怠型”。

（1）利用樣本估計(jì)總體的思想，估計(jì)小明的所有微信好友中每日走路步數(shù)超過12000步的概率；

（2）根據(jù)題意完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷能否有99.5%的把握認(rèn)為“評(píng)定類型”與“性別”有關(guān)？

積極型

懈怠型

總計(jì)

男

女

總計(jì)

附：，其中.

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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【題目】已知橢圓：的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為，原點(diǎn)到直線的距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知定點(diǎn)，是否存在過的直線，使與橢圓交于，兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過橢圓的左頂點(diǎn)？若存在，求出的方程：若不存在，請(qǐng)說明理由.

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【題目】設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別為,,直線,相交于點(diǎn),且它們的斜率之積為-2,設(shè)點(diǎn)的軌跡是曲線.

（1）求曲線的方程;

（2）已知直線與曲線相交于不同兩點(diǎn)、（均不在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)）,設(shè)曲線與軸的正半軸交于點(diǎn),若,垂足為且,求證：直線恒過定點(diǎn).

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【題目】選修4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

（Ⅰ）若曲線與無公共點(diǎn)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若曲線的參數(shù)方程中，，且曲線與交于，兩點(diǎn)，求.

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