【題目】已知函數(shù)y=f(x)是R上的偶函數(shù),對x∈R都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立.當(dāng)x1,x2∈[0,2],且x1≠x2時,都有<0,給出下列命題:
①f(2)=0;
②直線x=-4是函數(shù)y=f(x)圖象的一條對稱軸;
③函數(shù)y=f(x)在[-4,4]上有四個零點;
④f(2 014)=0.
其中所有正確命題的序號為________.
【答案】①②④
【解析】令x=-2,得f(-2+4)=f(-2)+f(2),解得f(-2)=0,因為函數(shù)f(x)為偶函數(shù),所以f(2)=0,①正確;因為f(-4+x)=f(-4+x+4)=f(x),f(-4-x)=f(-4-x+4)=f(-x)=f(x),所以f(-4+x)=f(-4-x),即x=-4是函數(shù)f(x)的一條對稱軸,②正確;當(dāng)x1,x2∈[0,2],且x1≠x2時,都有<0,說明函數(shù)f(x)在[0,2]上是單調(diào)遞減函數(shù),又f(2)=0,因此函數(shù)f(x)在[0,2]上只有一個零點,由偶函數(shù)知函數(shù)f(x)在[-2,0]上也只有一個零點,由f(x+4)=f(x),知函數(shù)的周期為4,所以函數(shù)f(x)在(2,4]與[-4,-2)上也單調(diào),因此,函數(shù)在[-4,4]上只有2個零點,③錯;對于④,因為函數(shù)的周期為4,即有f(2)=f(6)=f(10)=…=f(2 014)=0,④正確.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為公差不為零的等差數(shù)列,首項, 的部分項、、 、恰為等比數(shù)列,且,,.
(1)求數(shù)列的通項公式(用表示);
(2)設(shè)數(shù)列的前項和為, 求證: (是正整數(shù)
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【題目】如圖,建立平面直角坐標系xOy,x軸在地平面上,y軸垂直于地平面,單位長度為1千米.某炮位于坐標原點.已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y=kx- (1+k2)x2(k>0)表示的曲線上,其中k與發(fā)射方向有關(guān).炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標.
(1)求炮的最大射程;
(2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小),其飛行高度為3.2千米,試問它的橫坐標a不超過多少時,炮彈可以擊中它?請說明理由.
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【題目】已知直三棱柱ABC-A1B1C1,點N在AC上且CN=3AN,點M,P,Q分別是AA1,A1B1,BC的中點.求證:直線PQ∥平面BMN.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=-2x+m,其中m為常數(shù).
(1)求證:函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù);
(2)當(dāng)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)時,求實數(shù)m的值.
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【題目】如圖,棱錐P—ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,BD=.求二面角P—BC—D余弦值的大小.
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【題目】(本小題滿分15分)在直三棱柱中,底面是邊長為2的正三角形, 是棱的中點,且.
(1)試在棱上確定一點,使平面;
(2)當(dāng)點在棱中點時,求直線與平面所成角的大小的正弦值。
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,判斷并證明函數(shù)在上單調(diào)性。
(2)當(dāng)時,若關(guān)于的方程在上有解,求實數(shù)的取值范圍。
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