Question

【題目】【2017黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)仿真模擬】如圖,在四棱錐P—ABCD中,平面PAD⊥底面ABCD,其中底面ABCD為等腰梯形,AD∥BC,PA＝AB＝BC＝CD＝2,PD＝2,PA⊥PD,Q為PD的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：CQ∥平面PAB；

（Ⅱ）求直線PD與平面AQC所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

（Ⅰ）證明 如圖所示,取PA的中點(diǎn)N,連接QN,

BN.在△PAD中,PN＝NA,PQ＝QD,

所以QN∥AD,且QN＝AD.

在△APD中,PA＝2,PD＝2,PA⊥PD,

所以AD＝＝4,而B(niǎo)C＝2,所以BC＝AD.

又BC∥AD,所以QN∥BC,且QN＝BC,

故四邊形BCQN為平行四邊形,所以BN∥CQ.

又BN平面PAB,且CQ平面PAB, 所以CQ∥平面PAB.

（Ⅱ）如圖,取AD的中點(diǎn)M,連接BM；取BM的中點(diǎn)O,連接BO、PO.

由(1)知PA＝AM＝PM＝2,

所以△APM為等邊三角形,

所以PO⊥AM. 同理BO⊥AM.

因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,所以PO⊥BO.

如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以O(shè)B,OD,OP所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則O(0,0,0),D(0,3,0),A(0,－1,0),B(,0,0),P(0,0,),C(,2,0),

則＝(,3,0).

因?yàn)镼為DP的中點(diǎn),故Q,所以＝.

設(shè)平面AQC的法向量為m＝(x,y,z),

則可得

令y＝－,則x＝3,z＝5. 故平面AQC的一個(gè)法向量為m＝(3,－,5).

設(shè)直線PD與平面AQC所成角為θ.

則sinθ= |cos〈,m〉|＝＝.

從而可知直線PD與平面AQC所成角正弦值為.