Question

【題目】已知函數(shù) 為正實數(shù)．

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）若方程在區(qū)間上有兩個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：

（Ⅰ）根據(jù)導數(shù)的幾何意義求得切線的斜率，再根據(jù)點斜式求得切線方程即可．（Ⅱ）通過求導可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以要使方程在區(qū)間上有兩個不相等的實數(shù)根，需滿足，解不等式可得的取值范圍．

試題解析：

（Ⅰ）當時， ，

∴，

∴．

又，

∴曲線在點處的切線方程為，

即．

（Ⅱ）∵，

∴

令，即，

得， （舍去）．

當變化時， ， 的變化情況如下表：

	單調(diào)遞減		單調(diào)遞增

由上表可得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．

∵方程在區(qū)間上有兩個不相等的實數(shù)根，

∴，解得．

故實數(shù)的取值范圍是．