已知拋物線上的任意一點到該拋物線焦點的距離比該點到軸的距離多1．

（1）求的值；
（2）如圖所示，過定點（2，0）且互相垂直的兩條直線、分別與該拋物線分別交于、、、四點．
（i）求四邊形面積的最小值；
（ii）設線段、的中點分別為、兩點，試問：直線是否過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由．
（1）（2）（i）四邊形面積的最小值是48（ii）

試題分析：（1）直接利用拋物線的定義
（2）（i）S四邊形ABCD，，利用弦長
公式，以及基本不等式，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題
的解法求解
（ii）恒過定點問題的常規(guī)解法
試題解析：
（1）由已知∴
（2）（i）由題意可設直線的方程為（），代入得
設則，
∴
    6分
同理可得                  7分
S四邊形ABCD
 8分
設則∴S四邊形ABCD
∵函數(shù)在上是增函數(shù)
∴S四邊形ABCD，當且僅當即即時取等號
∴四邊形面積的最小值是48.   9分
（ii）由①得∴∴
∴，        11分
同理得       12分
∴直線的方程可表示為

即
當時得
∴直線過定點（4,0）.                    14分
注：第（2）中的第（i）問：
S四邊形ABCD

（當且僅當時取等號）也可.
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線．
(1)若圓心在拋物線上的動圓，大小隨位置而變化，但總是與直線相切，求所有的圓都經(jīng)過的定點坐標；
(2)拋物線的焦點為,若過點的直線與拋物線相交于兩點,若,求直線的斜率；
(3)若過正半軸上點的直線與該拋物線交于兩點,為拋物線上異于的任意一點,記連線的斜率為試求滿足成等差數(shù)列的充要條件．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

若動點與定點和直線的距離相等，則動點的軌跡是（  ）
A．橢圓B．雙曲線C．拋物線D．直線

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知直線（k＞0）與拋物線相交于、兩點，為的焦點，若，則k的值為(   )
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

拋物線上一點的橫坐標為，則點與拋物線焦點的距離為________.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知直線 (k＞0)與拋物線相交于A、B兩點，為的焦點，若，則k的值為
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

右圖是拋物線形拱橋，當水面在時，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米后，水面寬        米.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，拋物線C的頂點在原點，經(jīng)過點A(2，2)，其焦點F在x軸上．

(1)求拋物線C的標準方程；
(2)求過點F，且與直線OA垂直的直線的方程；
(3)設過點M(m，0)(m>0)的直線交拋物線C于D、E兩點，ME＝2DM，記D和E兩點間的距離為f(m)，求f(m)關于m的表達式．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示,拋物線C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0).點M(x0,y0)在拋物線C2上,過M作C1的切線,切點為A,B(M為原點O時,A,B重合于O).當x0=1-時,切線MA的斜率為-.

(1)求p的值;
(2)當M在C2上運動時,求線段AB中點N的軌跡方程(A,B重合于O時,中點為O).

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