Question

已知A={x₁，x₂，x₃，x₄}，B={x∈R⁺|2（x-12）sin

πx

4

=1}，且A是B的子集，則x₁+x₂+x₃+x₄的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：將2（x-12）sin

πx

4

=1兩邊同除以2（x-12），再分別判斷兩函數(shù)的對(duì)稱中心，得到函數(shù)f（x）=sin

πx

4

-

1

2(x-12)

的對(duì)稱中心，再由對(duì)稱性求出x₁+x₂+x₃+x₄的最小值．

解答： 解：由2（x-12）sin

πx

4

=1得，sin

πx

4

=

1

2(x-12)

，則x＞0且x≠12，
∵y=sin

πx

4

是以8為周期的奇函數(shù)，∴y=sin

πx

4

的對(duì)稱中心是（4k，0），k∈z，
∵y=

1

2(x-12)

的圖象是由奇函數(shù)y=

1

2x

向右平移12個(gè)單位得到，
∴y=

1

2(x-12)

的對(duì)稱中心是（12，0），
即函數(shù)f（x）=sin

πx

4

-

1

2(x-12)

的對(duì)稱中心是（12，0），
∵{x₁，x₂，x₃，x₄}⊆{x∈R⁺|2（x-12）sin

πx

4

=1}，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，最小值x₁和x₃、x₂和x₄關(guān)于（12，0）對(duì)稱，即x₁+x₃=24、x₂+x₄=24，
則x₁+x₂+x₃+x₄=48，
故答案為：48

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的對(duì)稱性，涉及集合的基本運(yùn)算，屬中檔題．